Tip:
Highlight text to annotate it
X
Kruh je asi nejzákladnějším útvarem našeho vesmíru,
když se podíváme na oběžné dráhy planet,
kola
anebo věci v molekulární úrovni.
Kruh se jednoduše stále a stále
všude objevuje.
Takže se nám určitě hodí rozumět některým jeho
základním vlastnostem.
Lidi přirozeně zajímaly vlastnosti kruhu
(viděli obrovský kruh už jen když se podívali v noci na měsíc)
a určitě někdy nastal moment, kdy si poprvé někdo řekl:
Jaké jsou vlastnosti kruhu?
První věc, které si mohli všimnout, je, že v kruhu jsou vlastně
všechny body stejně daleko
od jednoho bodu.
Všechny tyto body tady jsou stejně vzdálené
od tohoto středu.
První věc, na kterou se můžete zeptat, je,
co je to ta stejná vzdálenost
od středu?
Ta přesně tady?
Nazývá se poloměr.
Je to vzdálenost od středu po okraj.
Když je tento poloměr 3 centimetry, tak i tento poloměr
bude 3 centimetry.
I tento poloměr bude 3 centimetry.
Nikde nebude jiný.
Kruh je podle definice množina bodů, které mají stejnou
vzdálenost od středu.
A ta vzdálenost je právě poloměr.
Druhá zajímavá věc, kterou mohli lidé chtít vědět, je,
jak je kruh "tlustý"?
Kde je nejširší?
Anebo kdybychom ho přestřihli na nejširším místě,
jaká by to byla délka?
A dokonce to nemusí být jen tady.
Můžeme kruh přestřihnout stejně v nejširším místě i tady.
Jen ho nesmíme přestřihnout někde jako například zde,
neboť to by nebylo nejširší místo.
Je mnoho možností, jak kruh přestřihnout na jeho
nejširším místě.
Už jsme viděli poloměr a teď vidíme, že nejširší část kruhu,
prochází přes střed kruhu.
Tudíž jsou to vlastně dva poloměry.
Jeden poloměr máme tady a druhý poloměr
máme tady.
Tuto vzdálenost nazýváme
průměr kruhu.
Takže toto je průměr kruhu.
A má jednoduchý vztah s poloměrem.
Průměr se rovná dvěma poloměrům. Průměr = 2 krát poloměr.
Další nejzajímavější věc, která vás může zajímat je,
jak je to daleko okolo celého kruhu.
Kdybyste si vzali metr
a odměřili byste okraj kruhu, jaká by to byla délka?
Nazývá se obvod.
Už víme, jaký je vztah mezi poloměrem a průměrem,
ale jaký je vztah mezi obvodem a například průměrem?
A jestliže se vám nelíbí průměr,
vždy se dá najít vztah s poloměrem.
Tisíce let zpět lidé vytáhli své metry
a měřili obvody a poloměry
kruhů.
A řekněme, že jejich metry nebyly zrovna nejpřesnější.
Řekněme, že když změřili obvod,
vycházel jim přibližně na 3.
Potom změřili průměr kruhu
a řekli si, že průměr je
přibližně 1.
Potom by si řekli, že si to zapíší.
A když je zajímal poměr,
přepsali si to takto.
Poměr obvodu kruhu ku průměru kruhu.
Takže řekněme, že někdo měl takovýto kruh.
Přesně takový stejný jako ten náš.
Změřili obvod kruhu
a řekli si, že je to přibližně
3 metry.
A když změřili průměr kruhu,
bylo to přibližně 1.
Dobře, to je zajímavé.
Možná je poměr obvodu ku průměru
opravdu 3.
Možná je obvod kruhu vždy přesně třikrát tolik
jako jeho průměr.
Ještě vždy to ale mohlo tak platit pouze pro ten jediný kruh.
Tak to zkusili pro jiný kruh.
Trošku jiný.
Řekněme, že když změřili obvod kruhu,
naměřili přibližně 6 centimetrů.
(Stále měli nepřesné metry.)
Potom změřili průměr a vyšlo jim
2 centimetry.
A zase se jim potvrdilo, že poměr obvodu ku průměru
je přibližně 3.
To je celkem pěkná vlastnost.
Možná je poměr obvodu ku průměru ve všech kruzích
stejný.
Ale pokračovali ve výzkumu.
Našli si přesnější měřící nástroje.
Změřili svůj první kruh ještě jednou a zjistili,
že jeho průměr je určitě 1.
Řekli si, že průměr je určitě přesně 1,
ale když změřili obvod,
přiblížil se skoro ke 3,1.
A stejně to bylo i s poměrem.
Zjistili, že poměr je blíže k 3,1.
Ale stále to měřili dále, lépe a lépe.
A jak postupně měřili,
vycházelo jim stále přesnější a přesnější číslo.
Číslo 3,14159
a stále jim jen rostl počet číslic, které se nikdy
neopakovaly.
Bylo to zvláštní a fascinující číslo,
které se potom vyskytovalo i jinde.
Toto číslo je jedno z nejzákladnějších čísel našeho vesmíru
a když je i kruh nejzákladnějším útvarem našeho vesmíru,
není překvapující, že se v něm objevilo.
Poměrem obvodu ku průměru je toto magické číslo,
které lidé i pojmenovali.
Pojmenovali ho Pi a značí se latinským
anebo řeckým písmenem takto.
Reprezentuje to číslo, které je hádám
nejfascinujícím číslem ve vesíru.
Nejdříve se ukáže, jak poměr obvodu kruhu ku jeho poloměru,
no dále v matematice,
se ještě mnohokrát ukáže.
Právě takové číslo ukazuje,
jaký je ve vesmíru pěkný pořádek.
Ale jak ho můžeme použít
v základní matematice?
Víme (anebo vám to vlastně říkám), že pomě
obvodu ku průměru (když říkám poměr,
doslova myslím, že jen podělíte obvod průměrem)
dostanete číslo Pi.
Pi je jednoduše toto číslo.
Mohl bych napsat 3,14159 a jít dále a dále,
no to by byla ztráta času a bylo by těžké
s ním pracovat, proto se jednoduše píše jako
řecké písmeno Pi.
A jak to použijeme?
Můžeme obě strany rovnice vynásobit průměrem
a vidíme, že obvod kruhu se rovná
Pi krát průměr.
A když víme, že průměr je dvakrát poloměr,
můžeme říci, že obvod se rovná
2 krát Pi krát poloměr.
Forma, v jaké to budete často vidět, je
2 Pi r.
Tak se pojďme podívat, jak to bude fungovat.
Řekněme, že máme kruh
s poloměrem 3.
Nejdříve to napíšu.
Může to být například 3 metry.
Jaký je obvod našeho kruhu?
Obvod je 2 krát Pi krát poloměr.
Takže to bude 2 krát Pi krát poloměr, což je
3 krát 2 krá tPi
anebo 6 krát Pi.
6 Pi metrů.
A i to mohu stále násobit.
Je třeba si pamatovat, že Pi je jen číslo.
Pi je 3,14159 a mnoho dalších cifer.
A když s ním vynásobím 6, dostanu 18 celých
něco něco něco.
Jestli máte kalkulačku, můžete to vynásobit,
no aby to bylo jednoduché, lidé to raději
nechají ve formě Pi.
Nevím přesně, kolik to bude, když se to vynásobí,
no bude to blízko 19.
18 celých něco
něco něco.
Nemám u sebe kalkulačku.
Namísto takového čísla píšeme raději
pouze 6 Pi.
Nezdá se mi, že by to bylo
více než 19.
Teď se zeptám na jednu věc.
Co je průměr našeho kruhu?
No, když je poloměr 3, tak průměr bude dvakrát tolik.
Takže to bude 2 krát 3.
Tedy 6.
Takže obvod je 6 Pi metrů, průměr je 6 metrů
a poloměr jsou 3 metry.
Zkusme to teď opačně.
Řekněme, že máme nový kruh.
Takovýto kruh.
A řekněme, že jeho obvod je 10 metrů.
Tady je náš obvod.
Takže když známe obvod,
jak zjistíme průměr?
Víme, že průměr je Pi krát průměr
se rovná obvodu.
Se rovná 10 metrů.
Takže stačí podělit obě strany rovnice
číslem Pi.
Tedy vidíme, že průměr je
10 lomeno Pi.
A to je také pouze číslo.
Stále můžeme použít kalkulačku a podělit 10 děleno Pi.
Výsledek bude 3 celých něco
něco něco metrů.
Z hlavy se to nedá,
no je to jen číslo,
které pro jednoduchost necháváme tak.
A co je náš poloměr?
Poloměr je polovina průměru.
Vlastně celá tato vzdálenost je 10 děleno Pi metrů.
Když chceme pouze polovinu toho,
je třeba to vynásobit polovinou.
Máme 1/2 krát 10/Pi.
Můžeme podělit jmenovatele a čitatele
dvojkou.
Zůstane nám 5/Pi.
Takže poloměr je 5/Pi.
Nic extra speciálního.
Je jen třeba si uvědomit,
že Pi je pouze číslo.
Je to jen 3,14159 s hromadou desetinných míst.
Existují tisíce knih o čísle Pi.
Dobře, možná trochu přeháním,
no knih by se ale dalo psát mnoho.
Je to jen číslo.
A když se vám nelíbí ho psát jako Pi,
vždy ho můžete vynásobit
a psát čísly.
Většina lidí ho ale upřednostňuje jako Pi.
Bez číslic.
Tady to už asi necháme takhle.
V následujícím videu budeme počítat plochu kruhu.