Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
Pojdmě nyní udělat pár přikladů zabývajících problémy s
exponenciálním růstem a rozkladem.
Takže první problém: předpokládejme, že radioaktivní látka se rozkládá
v míře 3,5% za hodinu.
Kolik procent z této látky zbude po 6 hodinách?
Pojďme tady udělat malý přehled, abychom si lépe představili,
co se děje.
A potom budeme zkoušet přijít s nějakým obecným postupem,
jak určit, kolik toho zůstane po n hodinách.
Pojďme si říct něco o hodinách, které uběhly,
a procentech, která zůstala.
Předpokládejme, že máme radioaktivní směs rozkládající se rychlostí 3,5% za hodinu. Jaké procento směsi zbude po 6 hodinách?
Takže po 0 hodinách, kolik procent zůstalo?
Zatim se nic nerozložilo, takže nám zůstalo 100%.
Co se stane po 1 hodině?
Látka se rozkládá tempem 3,5% za hodinu.
Takže 3,5% zmizí.
A nebo to můžeme pojmout jinak: zůstane 0,965.
Pamatujte, jestli vezmete 1 mínus 3,5%, nebo vezmete 100%
mínus 3,5% -- a to je kolik ztrácíme každou hodinu --
tak se výsledek bude rovnat 96.5%.
Tedy každou hodinu budeme mít 96,5 % z
té předešlé hodiny.
Takže po první hodině budeme mít 96,5 % z nulté hodiny, nebo 0,965 krát 100.
Tedy krát hodnota v nulté hodině.
Co se stane po dvou hodinách?
-
Dobře, budeme mít 96,5% z předchozí hodiny.
Ztratíme 3,5% což znamená, že máme 96,5 % z
té předchozí hodiny.
To bude 0,965 krát 0,965 krát 100.
Myslím si, že víte, kam to ve výsledku spěje.
V první hodině máme 0,965 umocněno na prvou
krát 100.
V nulté hodině máme 0,965 na nultou.
To nevidíme, ale je zde 1, krát 100.
Ve druhé hodině, 0,965 na druhou krát 100.
Obecně v n-té hodině --
napíšu to nějakou výraznou barvou -- v n-té hodině
nám zůstane 0,965 umocněno na n-tou krát 100
naší radioaktivní látky.
A častokrát to uvidíte takto napsáno.
Vaše počáteční množství se násobí společným podílem, 0,965
na n-tou mocninu.
Tolik zbyde po n hodinách.
Teď můžeme odpovědět otázky.
Kolik nám zbyde po 6 hodinách?
Zůstane nám 100 krát 0,965 na
šestou mocninu.
A můžeme použít kalkulačku, abychom zjistili, kolik to je.
Použijeme naši spolehlivou kalkulačku.
Máme 100 krát 0,965 na šestou mocninu,
což se rovná 80,75.
Toto jsou všechno procenta.
Takže to je 80,75% naší původní látky.
-
Pojďme udělat další.
Máme Nadiu, která vlastní síť restaurací s rychlým občerstvením,
v roce 1999 provozovala 200 poboček.
Když tempo růstu je -- ale, tady je tisková chyba
mělo by to být 8% -- tempo růstu je 8%
kolik poboček celoročně
restaurace provozuje v roce 2007?
Pojďme se zamyslet *** tímtéž.
Řekněme, že máme roky po roce 1999.
A mluvíme o tom kolik poboček Nadia provozuje, ve své
sítí rychlých občerstvení.
1999 samo o sobě je 0 roků po 1999.
A tím pádem provozuje 200 poboček.
Poté v roce 2000, který je 1 rok po 1999, kolik jich
bude provozovat?
Každoročně roste tempem 8%.
Takže bude provozovat všechny pobočky, které měla předtím,
plus 8% z počtu poboček které měla předtím.
Což je 1,08 krát počet poboček, které měla předtím.
A uvidíte zde je podíl roven 1,08.
Když rostete tempem 8%, je to totéž, jako
násobit číslem 1,08.
Trochu to zkusím ujasnit.
200 plus 0,08, krát 200.
To je jen 1 krát 200 plus 0,08, krát 200.
1,08 krát 200.
Co se děje poté v roce 2001?
Teď to je 2 roky po 1999 a vy vzrostete o 8 %
oproti tomuto číslu.
Vynásobíte 1,08 krát dané číslo,
krát 1,08 krát 200.
Myslím si, že chápete celkovou podstatu. Když máme n let po
roce 1999, bude to 1,08 -- napíšu to takto:
Bude to 200 krát 1,08 na n-tou mocninu.
Po 2 letech, 1,08 umocněno na druhou.
Po jednom roce, 1,08 na první mocninu.
0 let je stejné jako 1 krát 200, což
je 1,08 na nultou mocninu.
Takže se nás ptají, kolik poboček restaurace
provozuje v roce 2007.
2007 je 8 let po roce 1999.
Takže n je rovno 8.
Dosadím za n, které je rovno 8.
Odpověď na naši otázku bude 200 krát 1,08 na
umocněno na osmou.
Vezmeme si kalkulačku a vypočteme výsledek.
Chtěli jsme zjistit, kolik je 200 krát 1,08
na osmou.
Bude provozovat 370 restaurací a bude
probíhat otevření několika dalších.
Když to zaokrouhlíme dolů, bude mít 370
restaurací.
Takže osmiprocentní růst se nemusí zdát jako něco velmi rychlého
nebo vzrušujicího.
Ale za necelé desetiletí, za pouhých 8 let, by v
její síti restaurací vzrostl počet z 200 na 370.
Po 8 letech vidíte, že násobení osmiprocentního růstu
je nakonec vlastně dost dramatické.
-