Tip:
Highlight text to annotate it
X
Potřebujeme vypočítat limitu x blížící se nekonečnu z
4 krát x na druhou mínus 5x to celé děleno 1 mínus 3 krát x na druhou.
Nekonečno je takové zvláštní číslo.
Nemůžete dosadit nekonečno a podívat co se stane.
Pokud chcete vypočítat tuto limitu, můžete zkusit
vypočítat limitu pro
hodně veliká čísla a zjistit
jak se bude limita blížící se nekonečnu chovat.
Čitatel se blíží nekonečnu, protože
x se blíží nekonečnu.
Pokud dosadíte opravdu veliké číslo do jmenovatele,
uvidíte, že je to také...no,
ne tak docela nekonečno
3x na druhou se blíží nekonečnu, ale
mi ho odečítáme.
mi ho odečítáme.
Pokud odečítáme nekonečno od nějakého konečného čísla,
výsledkem bude -nekonečno.
Pokud vypočítáme funkci v nekonečnu,
Čitatel bude +nekonečno.
Jmenovatel bude -nekonečno.
Zapíši to takto.
-nekonečno.
To je jeden z nedefinovaných výrazů
na který můžeme použít l'Hospitalovo pravidlo.
Pravděpodobně říkáte: ,,Hej Sale, proč vůbec používáme
l'Hospitalovo pravidlo?"
Vím jak příklad vypočítat bez použití l'Hospitalovo pravidla.
A vy pravděpodobně také, alespoň měli by jste.
To si ukážeme v druhé části.
Chci vám nejdřív ukázat, že l'Hospitalovo pravidlo lze použít
i na tento typ nedefinovaných výrazů
a ukázat vám příklad, který obsahuje nedefinovaný výraz nekonečno děleno -nekonečno
nebo +nekonečno
Použijme l'Hospitalovo pravidlo.
Nechť limita nebo limita její derivace existují,
pak je limita rovna limitě
x blížící se nekonečnu derivace čitatele
Derivace čitatele je...
derivace 4x na druhou je 8x mínus 5
děleno derivací jmenovatele, derivace 1 je 0.
Derivace -3 krát x na druhou je -6x
Pokud vypočítáte limitu,
čitatel se blíží +nekonečnu
a jmenovatel se blíží -nekonečnu.
-6 krát nekonečno je -nekonečno.
To je -nekonečno.
Použijme l'Hospitalovo pravidlo ještě jednou.
Pokud existuje limita derivace této funkce nebo
existuje racionální funkce derivace čitatele děleno
derivací jmenovatele, pokud existuje limita je rovna
limitě x blížící se nekonečnu,
změním barvu,
derivace 8x mínus 5 to je 8.
Derivace -6x je -6
A to je...konstanta.
Nezáleží, že se limitně blížíme do nekonečna,
pořád to bude toto číslo.
Což je?
Pokud zlomek pokrátíme
- 4/3
- 4/3
Limita existuje.
Toto byl nedefinovaný výraz.
Limita derivace této funkce děleno
derivací této funkce existuje
a musí také být rovna -4/3.
Ze stejného důvodu musí být
tato limita také rovna -4/3.
A pro ty z vás co říkají, hej! my jsme
již věděli jak to vypočítat.
Mohli jsme vzít koeficienty u x na druhou.
Máte naprostou pravdu.
Hned vám to ukážu.
Chtěl jsem vám ukázat,
že l'Hospitalovo pravidlo není jediným maršálem ve mestě.
A upřímně řečeno, můj první krok pro tento typ příkladů
nebude použití l'Hospitalova pravidla na prvním místě.
Můžete říct, že první limita
x blížící se nekonečnu z 4 krát x na druhou mínus 5 krát x to celé děleno 1 mínus
3 krát x na druhou je rovna limitě x blížící se nekonečnu...
Nakreslím zde malou čáru, aby bylo vidět, že se rovná této limitě
a ne této limitě.
To se rovná limitě x blížící se nekonečnu.
Vytkněme x na druhou z čitatele a
ze jmenovateli.
Máme x na druhou krát 4 mínus 5 děleno x.
Správně? x na druhou krát 5 děleno x je 5x.
děleno...vytkněme x z čitatele.
x na druhou krát (1 děleno x na druhou mínus 3).
x na druhou se pokrátí.
To se rovná limitě x jdoucí do nekonečna z
(4 mínus 5 děleno x) děleno (1 děleno x na druhou mínus 3).
Čemu se to rovná?
x jde do nekonečna: 5 děleno nekonečnem
je 0.
Super velký nekonečný jmenovatel,
jde k 0.
Celé se to blíží 0.
Stejný důvod.
Výraz vpravo se blíží 0.
Vše co zbylo je 4 děleno -3.
Vše co zbylo je 4 děleno -3.
Limita se rovná 4 děleno -3
nebo-li -4/3.
Nepotřebovali jsme použít l'Hospitalovo pravidlo
na tento příklad.