Tip:
Highlight text to annotate it
X
Doufám, že teď už rozumíme
větě o sevřené funkci. Použijeme ji k dokázání limity.
...Napíšu to žlutě... Limita, když "x" se blíží 0 ze sinu x
lomeno x se rovná 1.
Určitě jste plní očekávání, protože
jsem toto řekl už tolikrát.
Pojďme na to. Vlastně musíme použít
trigoniometrii. Jedná se o důkaz s obrázkem.
Nakreslím aspoň první a čtvrtý kvadrant
jednotkové kružnice.
Udělám to v magentou (červená barva).
Uvidíme, jestli to zvládnu. Měl bych
to nakreslit docela velké.
Uvidíme.
Měl bych to nakreslit poměrně velké.
Nakreslím to tedy takto.
...
Docela jsem se trefil.
A teď nakreslím osy.
Toto je osa "x" a vypadá nějak takto.
Omlouvám se. To je osa "y".
...
Tady to máte.
A ještě osa "x" nejak takto.
Toto je náše jednotková kružnice.
...
To je ono.
Teď nakreslím pár dalších věcí.
Nakreslím, no je to poloměr, ale já
ho prodloužím.
...
Protáhnu to až někam sem.
Nakreslím pár dalších věcí, proto abych nastínil tento problém.
Ne, to není to, co jsem chtěl udělat.
Chtěl jsem to udělat přímo z tohoto bodu.
Přesně takto.
A tady z tohoto bodu chci udělat tohle.
...
A jestě chci nakreslit další z tohoto bodu.
Udělám to takto.
A jsme připraveni dokázat náš problém.
Takže, co jsem řekl?
Toto je jednotková kružnice, že?
Jestli je to tedy jednotková kružnice, co to potom znamená?
Je to kružnice s poloměrem 1.
Vzdálenost odtud sem je 1.
A pokuď tohle je úhel "x" v radiánech, jaká je délka
této úsečky?
Jaká je její délka?
Podle definice je sinus "x" definován jako
"y" souřadnice jakéhokoliv bodu na jednotkové kružnici.
Takže toto je sin "x".
...
Dochází mi místo, nakreslím proto šipku.
Toto přímo zde je tedy sin "x",
...
Teď vám položím těžší otázku.
Jak dlouhá je tato úsečka?
...
Zamysleme se.
Co je tangens?
Vraťme se k naší SOHCAHTOA definici tangens.
TOA = TangensOppositeAdjacent TangensProtilehláPřilehlá
Tangens se rovná TOA - protilehlá ku přilehlé.
Co je tedy tangens "x"?
...
Rovnalo by se to ...Mohli bysme vzít toto... Pokud řekneme, že
toto je ten pravý trojúhelník, byla by to
tato délka. Protilehlá ku přilehlé, správně?
Nazvěme tuto délku
"o" (česky p) jako protilehlá.
Ale co je přilehlá délka?
Jaká je základna tohoto většího trojúhelníku?
No jedná se přece o jednotkovou kružnici, že?
Proto vzdálenost odtud sem
se bude rovnat 1, nemám pravdu?
Protože se jedná o poloměr.
A ten je 1.
Takže protilehlá ku přilehlé je rovno tangents "x".
Ale protilehlá ku přilehlé ...přilehlá je 1, že?
Proto protilehlá strana, tato strana
se bude rovnat tangens "x".
Nebo také tangens "x" se rovná
této straně lomeno 1, nebo tangens "x" se rovná této straně.
Napíšu to.
Tato strana se rovná tangens "x".
...
Nyní se zamysleme *** obsahy některých částí
obrazce, který jsem tu nakreslil.
Možná jsem ho měl nakreslit trošku větší, ale myslím si, že
budeme schopni s ním pracovat.
Nejprve zvolím relativně malý trojúhelník.
Věnujme se tomuto trojúhelníku.
Vyznačím ho zeleně.
Tento trojúhelník, který značím zeleně,
jaký je jeho obsah?
Bude se rovnat 1/2 krát základna krát výška.
Takže je to 1/2 krát základna, která je 1.
Správně?
Je to celý tento trojúhelník.
A jaká je jeho výška?
Právě jsme přišli na to, že jeho výška,
tato výška je sin "x".
krát sin "x".
...
Odpovídá to tomuto zelenému trojúhelníku, nemám pravdu?
Teď jaký je obsah toho většího nezeleného trojúhelníku?
Na něj použiju jinou barvu.
Udělám to ..oh... Použilu červenou.
Jaký je obsah této kruhové výseče?
Této výseče přímo zde.
Tato výseč.
Doufám, že vidíte... No to není zas takový rozdíl v barvě.
Tedy tato výseč.
...
...
Je to o něco větší než trojúhelník,
kterým sme se právě zabývali.
Bude to vždycky trochu větší, protože
k tomu patří obsah oblasti mezi tímto trojúhelníkem a obloukem, správně?
Jaký je obsah této výseče?
...
Pokud je tento úhel "x" v radiánech, jakou část
z celé kružnice tato výseč zaujímá?
Celé kružnici odpovídá 2 pi radianů. Nemám pravdu?
Takže tento obsah bude jak velký?
Bude se rovnat jedné xtině ze všech radiánů
v jednotkové kružnici. Nemám pravdu?
Odpovídá to tedy "x" radiánů lomeno 2 pi radiánů
z celé jednotkové kružnice.
Je to stejný zlomek, jako kdyby ste použili
stupně. Tedy "x" ve stupních lomeno 360
krát obsah celého kruhu.
Toto nám říká, jak velkou část z kruhu zabíráme.
A my to ještě vynásobíme obsahem
celého kruhu.
A jak se vypočítá obsah kruhu?
Obsah se rovná pi krát r na druhou. Poloměr víme, že je 1.
To znamená, že obsah jednotkového kruhu je pi.
...
Pi krát r na druhou. Poloměr r je 1.
Obsah této výseče se bude rovnat
...Pi se vykrátí... "x" lomeno 2.
Takže zelený malý trojúhelník, který sme spočítali nejprve,
je sin "x".
Jeho obsah se rovná 1/2 krát sin "x".
Pak jsme spočítali obsah této výseče.
Ten se rovná "x" lomeno 2.
Pojďme teď spočítat obsah většího trojúhelníku.
obsah tohoto velkého
Jeho obsah je možná nejjasněší.
1/2 krát základna krát výška.
Dostaneme 1/2 ...základna je 1... krát
výška, která je tangens "x".
Celé se to rovná 1/2 krát tangens "x".
Z obrázku by mělo být jasné, že
bez ohledu na to, kde nakreslím tuto horní čáru, obsah zeleného trojúhelníku
bude vždycky menší než obsah této výseče. A její obsah bude vždycky menší
než obsah největšího trojúhelníku.
Nemám pravdu?
Napíšeme tedy nerovnici, která přesne toto vyjadřuje.
Obsah zeleného trojúhelníku odpovídá
1/2 krát sin "x".
Je menší než obsah výseče, který
je "x" lomeno 2.
A oba obsahy jsou menší než tento velký
trojúhelník, že?
Který odpovídá 1/2 krát tangens "x".
...
Teď kdy je tato nerovnice pravdivá?
Je pravdivá pro první kvadrant naší kružnice.
Pokud jsme v prvním kvadrantu, nerovnice se nemění.
Je skoro pravdivá i pro čtvrtý kvadrant.
Až na sinus a tangens,
který společne s "x" jsou ve čtvrtém kvadrantu negativní.
Ale pokud vezmeme absolutní hodnotu ze všecho, platí
nerovnice i ve čtvrtém kvadrantu.
Pokud je výraz negativní, použitím absolutní hodnoty
se vzdálenost nemění.
Můžeme tak spočítat obsahy a podobně.
A pokud je mým úkolem spočítat limitu když "x" se blíží k 0 a
chci aby limita byla definována
obecně, musí platit z pozitivní i
negativní strany.
Vezměme tedy absolutní hodnotu obou stran.
A doufám, že vám to dáva smysl.
Pokud bych nakreslil čáru tady dole, toto by byl
sinus "x" a toto by byl tangens "x". Pokud tedy
Použijete absolutní hodnou ze všeho,
děláte vlastne to samé jako v prvním kvadrantu.
Vezměme tedy absolutní hodnou ze všeho.
Nemělo by to nic změmit, zejména
v prvním kvadrantu.
A možná se zamyslíte *** tím, proč
se nic nezmění i ve druhém (tretim) kvadrantu.
Máme tedy tuto nerovnici.
Podíváme se, jestli naše nerovnice nejde nejak upravit.
Nejprve vynásobíme vše 2.
Zbavíme se tak polovin.
Dostaneme absolutní hodnota ze sin "x" je menší než
absolutní hodnota "x" je menší než absolutní hodnota
z tangens "x".
Doufám, že jsem vás nezmátl tou absolutní hodnotou.
Původní nerovnice, kterou jsem napsal, platila
v prvním kvadrantu. Ale já potřebuju, aby platila
v prvním a ve čtvrtém kvadrantu, protože počítám
limitu, když "x" se blíží 0 s obou stran. Proto použiju
absolutní hodnotu.
Mohli byste tedy nakreslit čáru dolů a
celý diagram udělat ve čtvrtém kvadrantu.
Jednoduší je ale použít absolutní hodnotu. Funguje to úplně stejně.
Ale zpátky k našemu problému.
Máme tedy tuto nerovnost.
Dochází mi místo, proto tady na hoře
neco smažu.
...
Smazat.
Smazat.
...
Ne, to nemaže.
OK.
To by mělo mazat.
OK.
Můžeme tedy smazat vše, co jsme zatím udělali.
Nesmíme ale zapomenout na toto.
Máme spoustu volného místa.
OK.
Vezměme celý tento výraz
a vydělme ho.
Má tři strany - levou
střední a pravou.
Vydělme je všechny absolutní hodnotou ze sinu "x".
A protože víme, že absolutní hodnota ze sínu "x"
je kladné číslo, znaménka nerovnice
se nemění, že?
Dejme se do toho.
Absolutní hodnota ze sinu "x" lomeno
absolutní hodnota ze sinu "x". A to se rovná 1.
...
Zároveň je to menší než absolutní hodnota z "x" lomeno
absolutní hodnota ze sinu "x".
...
A to je menší než ...co je absolutní hodnota z tangens...
Vlastně vše co dělám, je že používám absolutní hodnotu ze sinu "x".
absolutní hodnota ze sinu "x"
Co je tedy absolutní hodnota z tangens "x" lomeno
absolutní hodnota ze sinu "x"?
Tangens se rovná sinus lomeno cosinus.
Takže se to rovná ...Napíšu to sem...
Rovná se to sinus lomeno cosinus lomeno sinus.
A mohli byste říct, že je to to samé
jako absolutní hodnota.
A také absolutní hodnota lomeno absolutní hodnota.
Co vám tedy zbyde?
Zůstane vám 1 lomeno ...Sinusy se vykrátí a
tady bude 1... 1 lomeno
absolutní hodnota z cosinu "x".
A možná už cítíte, že se blížíme k cíli, protože
tohle vypadá skoro jako tohle akorát převrácené.
Abysme se dostali sem, převrátíme to.
A co se stane, když to převrátíme?
Nejprve, co se stane, když převrátíme 1?
1 lomeno 1 je 1.
Ale pokud převrátíte obě strany nerovnice, převrátíte také
znaménka nerovosti, že?
A pokud vám to není jasné, dám vám jednodušší příklad.
Pokud řeknu, že 1/2 je menší než 2 a invertuji obě strany,
dostanu 2 je větší než 1/2.
Doufám, že jsem vám to trošku intuitivně přiblížil.
Jestliže invertuji celou nerovnici,
musím také přehodit znaménka nerovnosti.
1 je větší než absolutní hodnota ze sinu "x" lomeno
absolutní hodnota z "x". A to je větší než
absolutní hodnota z cosinu "x".
Teď se vás na něco zeptám.
Absolutní hodnota ze sinu "x" lomeno ..Nejprve
sin "x" lomeno "x".
Může se vůbec někdy stát, že bude sin "x" lomeno "x"
v prvním a čtvrtém kvadrantu
negativní výraz?
V prvním kvadrantu je sin "x" kladný
a "x" je také kladné.
Kladný lomeno kladný
je zase kladný.
A ve čtvrtém kvadrantu je sin "x" zá***ý, osa "y"
je zá***á, úhel je také zá***ý, a proto i
"x" je zá***é.
Ve čtvrtém kvadrantu je sin "x" lomeno "x"
rovno zá***ý lomeno zá***ý.
A to je opět kladný výraz.
Vyplývá nám z toho, že sinus "x" lomeno "x" bude vždy kladný.
Absolutní hodnota je potom zbytečná.
Napíšeme 1 je větší než sin "x" lomeno "x".
A tady pužijeme stejný postup. Hranice prvního a čtvrtého
intervalu jsou
mínus pi lomeno 2 je menší než "x",
je menší než pi lomeno 2.
Pohybujeme se tedy v rozmezí od mínus pi lomeno 2
až do pi lomeno 2.
Jinak řečeno v prvním a čtvrtém kvadrantu.
Je vůbec někdy cos "x" zá***ý?
Cosinus je na ose "x" a podle definice
je v prvním a čtvrtém kvadrantu
vždy kladný.
Jestliže je kladný, můžeme se zbavit
absolutní hodnoty a nechat jen cos "x".
Teď už konečně můžeme použít větu o sevřené funkci.
Smažu všechno dole.
...
Zeptám se vás.
Jaká je limita, když se "x" blíží 0
z funkce 1?
Funkce 1 se vždycky rovná 1.
Můžu snadno zjistit limitu, když se "x" blíží nekonečnu,
nebo pi, čehokoliv.
Bude se vždy rovnat 1.
Když se "x" blíží 0, toto se rovná 1.
A jaká je limita, když se "x" blíží 0 z cos "x"?
To je také jednoduché.
Když se "x" blíží 0, cos 0 je 1.
Je to přece spojitá funkce a její limita odpovídá 1.
Jsme připraveni použít větu o sevřené funkci.
Když se "x" blíží 0
tato funkce se blíží 1.
Tato funkce se také blíží 1.
A tato funkce, tento výraz stojí
mezi nima.
A pokud je uzavřená mezi nima,
...Toto se blíží 1, když se blížíme 0,
Toto se blíží 1, když se blížíme 0... A toto stojí mezi nima, takže
se to také musí blížit 1, když se blížíme 0.
Používáme větu o sevřené funkci, založené na tomto a na tomto.
A můžete použití věty o sevřené funkci odůvodnit tím, že
toto je pravda, toto je pravda a toto je pravda.
limita ze sinu "x" lomeno "x", když "x" se blíží 0 se rovná 1.
Doufejme, že jste to pochopili.
Jiný pohled na věc: Když se bude zmenšovat tato čára,
"x" se blíží 0 a
tato plocha se s touto sbíhá, a tak ta mezi nima
se k nim musí taky přibližovat.
A pokud to chcete vidět na grafu,
sestrojil jsem to zde.
Uvidíme, jestli to dokážu sestrojit.
Ukážu vám graf.
Jen abyste mi uvěřili.
Řekli sme, že 1 je vždycky větší než sin "x". A sin "x"
je vždycky větší než cos "x" mezi
minus pi lomeno 2 a pi lomeno 2.
A samozřejmě to není definováno v "x" rovno 0.
Ale to nám nebrání spočítat limitu.
Tady to máte.
Modrá funkce je 1.
"y" rovná se 1.
Světle modrá funkce je cos "x".
A červená funkce je sin "x" lomeno "x".
Nahoře to můžete vidět napsané.
sin "x" lomeno "x" mezi mínus pi lomeno 2 a pi lomeno 2
neboli čtvrtý a první kvadrant. Červená křivka
leží vždycky mezi.
Pořád leží mezi tmavé modrou a světle modrou.
Je to jen intuice toho, jak funguje
věta o sevřené funkci.
Víme, že limita světle modré funkce, když
"x" se blíží 0 je 1.
A také limita tmavě modré funkce, když
"x" se blíží 0 je 1.
Červená funkce leží vždy mezi, a proto
je její limita také 1.
A máme dokázáno.
Důkaz s použitím věty o sevřené funkci a
trigoniometrie s obrázkem limity, když se "x" blíží 0 ze
sinu "x" lomeno "x" se rovná 1.
Doufám, že jsem vás moc nezmátl.