Tip:
Highlight text to annotate it
X
V tomto videu bych vás chtěl seznámit s velmi důležitou myšlenkou, co to jsou limity.
Je to idea, na které je kalkulus (matematická ***ýza) založen.
Tato myšlenka je základ, na kterém je vystavěna celá matematické ***ýza (Kalkulus). Jakkoli důležitá je, je to
vlastně úplně jednoduchá myšlenka. Nakresleme si funkci - vlastně definujme si funkci
Funkce nechť je jednoduchá. Tak definujme f(x) - nechť tedy f(x) je (x-1)/(x-1)
A můžete si říct. "Hele Sale, podívej, mám v čitateli i jmenovateli stejný výraz.
Pokud mám něco děleno tím samým, tak se to rovná jedna! Nemohu to prostě zjednodušit na f(x)=1?"
A já bych řekl: "No, máš skoro pravdu. Rozdíl mezi touhle funkcí a funkcí f(x)=1 je,
že tento výraz není definován pro x=1 ( 0/0 ). Takže když bude - napíšu to támhle - pokud máš
f(1), co se stane? V čitateli dostatneš (1-1) což je ... napišme to ...
v čitateli dostáváš 0 a ve jmenovateli dostáváš (1-1), což je taky 0. A právě cokoli děleno 0,
0/0 nevyjímaje, je nedefinováno. Takže výraz můžeš zjednodušit - můžeš říct, že tohle je
to samá jako f(x) = 1, ale musíš doplnit tvrzení, že x se nesmí rovnat 1. Takže teď
je tohle a tohle ekvivalentní. Oba výrazy se rovnají 1, pro všechna x různe od 1. Ale
v x=1, se výraz stává nedefinovaným. Tohle je nedefinované i tohle je nedefinované. Takže, jak nakreslím graf téhle funkce?
Nakresleme si ho... tohle je moje y=f(x), a tohle tady je moje x-ová osa a řekněme, že
tenhle bod je x=1, tenhle bude x=-1 a tento y=1, tady by mohlo být y -1,
ale to není pro naši funkci podstatné. Tak si ji mršku nakresleme. Tak předně je to
pro všechna x různá od 1, f(x) = 1. Bude vypadat takhle... všude kromě 1. Pro x=1 není funkce definována,
takže si tu udělám místečko a kroužek, který nám říká, že tahle funkce
není v tomto místě definovaná. My nevíme jakou má funkce hodnotu v 1, nikde jsme to nedefinovali.
Tahle definice funkce nám neříká co máme udělat v 1 - prostě je nedefinovaná, když je x rovno 1
Tak tohle je ta funkce tady a ještě jednou, když se nás někdo zeptá: "Kolik je f(1)?" tak se podíváte...
a řekněme, tohle je definice funkce, podíváte se na ose x na 1. A počkat! Tady je mezera v mé krásné funkci.
Zahlásíte "Není definováno". Napišme si to ještě jednou, je to trošku opakování se, ale napíšu to ještě jednou.
f(1) je nedefinováno. Ale co když se zeptáte, k čemu se ta funkce blíží,
když je x=1? A teď se pomalu dostáváme k té myšlence limit. Jak se x dostává blíže a blíže k 1...
k jaké hodnotě se blíží? K jaké hodnotě se po celou dobu dostává blíže a blíže?
No na levé straně, bez ohledu jak blízko jste 1 a přitom x není rovno jedné je pořád f(x)=1.
Tady na druhé straně, napravo, dostáváte tu samou věc. Takže mohly byste říct - a jak si postupně osvojíte
tuhle myšlenku, až si ukážeme další příklady - že limita
x (a lim, je zkráceně limita) - když x se blíží jedné funkce f(x) je rovna..
Jak se dostáváme blíže, můžeme se dostat neskutečně, nekonečně blízko k 1 dokud nejsme přesně na 1...
a naše funkce bude rovna 1, blíží se víc a víc k 1,
je to vlastně 1 po celou dobu. Takže v tomhle případě můžeme říci, že limita pro x jde k 1 funkce f(x) je 1.
Takže ještě jednou, má to velmi zvláštní zápis, ale prostě říkáme, "Podívej, k jaké hodnotě se ta funkce blíží,
když se x blíží čím dál tím více k 1?"
Podívejme se na další příklad kde se budeme prát s křivkou, abyste měli obecnou představu.
Mějme tedy funkci f(x), ne budeme ji pro změnu říkat g(x) , nazvěme ji g(x.)
Mějme tedy g(x) rovnou ... mohl bych ji definovat takto... definujme ji jako x²
pro x různé od 2, a řekněme, že pro x=2 je funkce rovna 1. Takže zase máme druh velmi zajímavé funkce,
která - jak můžete vidět- neni zcela hladká. Má nespojitost. Nakresleme jí.
Toto je moje osa y=g(x) , a tohle je má osa x přímo zde. Zde bude x=1, tady x=2
tohle je -1, toto -2... Takže všude kromě x=2 je funkce rovná x². Nakresleme ji takhle:
bude to parabola, která vypadá takhle... bude vypadat něco ....
Nakreslím lepší verzi paraboly. Takže bude vypadat asi takhle, není to ta nejkrásněji
nakreslená parabola v historii kreslení, ale myslím, že pro představu jak parabola vypadá to dostačuje.
Měla by být symetrická... Radši ji překreslím, protože je docela ošklivá.
Ta vypadá lépe.
Teď, tohle by měl být graf holé x², ale pro x=2 to x² není. Takže ještě jednou, když x=2
měli bychom mít tady maličkou nespojitost , takže si tu nechám místo
protože, když x=2, je funkce rovna 1.
Nebudu je dělat ve stejném měřítku. V grafu x² by tohle bylo 4 a tohle 2,
a tady by byla 1, a zde 3. Takže pro x=2 je naše funkce rovna 1.
Je to trochu zvláštní funkce, ale můžete si ji tak zadefinovat. Funkci si můžete zadefinovat jak
je vaše ctěná libost. A teď si všimněte, že je to vlastně graf funkce g(x) = x² kromě x=2,
tam má mezeru, protože když x=2 tak nepoužijete g(x)=x², ale použijete g(x)=1
Pokud jsem říkal f(x), omlouvám se za matení.
Použijete g(x)=1, jen a právě tehdy, pokud je x přesně 2, spadne na 1 a pak zase pokračuje jako x²
Je tu několik věcí, kterých si je třeba povšimnout. Pokud budu prostě jen vyhodnocovat funkci g(2)
tak se podívám na definici funkce. OK, když je x=2, použiji tuto definici zde,
a ta mi říká, že to je rovno 1. Ale položme si zajímavější otázku, nebo snad ještě
více zajímavou. Jakou hodnotu má limita, když se x blíží ke 2 funkce g(x)? Všimněte si toho zápisu,
ale ptáte se vlastně na velmi jednoduchou věc. Zápis říká: "Když jde x blíže a blíže ke 2..
a jak se dostáváte čím dál tím blíž - a tohle není přesná definice, tu si uvedeme v jednom z dalším vidí -
jak se x přibližuje ke 2, k čemu se přibližují hodnoty funkce g(x)? Nejdříve za x dosadíte 1.9, pak 1.999 a pak 1.999999
a pak 1.9999999, jakých hodnot nabývá g(x), k čemu se blíží? Pokud se budete blížit zprava
tak jakou hodnotu má funkce v g(2.1), g(2.01)? A co g(2.001)
K čemu se to blíží, když se dostáváme blíže k 2?
Můžete to vidět ,pokud si nakreslíte graf. Jak se x přibližuje k 2
A pokud to budeme sledovat na grafu, uvidíme, že se blížíme ke 4,
ačkoli to není ta hodnota jakou má funkce v tomhle bodě. Ta spadla na 1. Limita funkce g(x) pro
x jdoucí ke 2 je rovna 4. Můžete si to zkusit číselně na kalkulačce.
A udělejme to, protože si myslím že to je zajímavé. Vytáhnu kalkulačku...
Vytáhnu si svou osvědčenou TI-85... Tady je má kalkulačka.. a můžete říci čísly,
jasně, k čemu se to bude blížit, když se budu blížit k x=2? Vyzkoušíme 1.9. Pro x=1.9 použijete tuto
horní definici. Přímo zde, Máte 1.9² a dostáváte 3.61
Dobrá, co když půjdeme ještě blíže ke 2? Například 1.99, umocníme,
a jsem na 3.96. A když zkusíme 1.999, a umocníme.
Dostávám se na 3.996. Všimněte si, jsem čím dál tím blíže k našemu bodu.
A teď hodně blízko - 1.999999999999²? Co dostanu? Nebude to
přesně 4 - to jen to kalkulačka takhle zaokrouhlila, protože dostaneme číslo opravdu, ale opravdu
hodně blízko 4. Zkusíme to z pravé strany.
A bude to muset být to samé číslo, jako když jsme se blížili zleva.
Takže, když zkusíme 2.1², dostáváme 4.4...
Přeskočíme několik kroků.
2.0001². Tohle je o hodně blíže ke 2. A dostáváme se také o hodně blíže ke 4.
Takže čím jsme blíže na ose x ke 2, tím blíže se na ose y dostáváme ke 4.
Takže opět, při číselném hledání vidíme, že limita když x jde ke 2 z obou stran
funkce g(x), tedy kromě přesné 2, kde je funkce rovna 1, protože je nespojitá -
limita jak se blížíme je 2, tak se dostáváme čím dál tím víc k 4