Tip:
Highlight text to annotate it
X
Udělám více příkladů na limity.
Takže další příklad.
Kdybych měl limitu x blížící se ke 3 funkce
(x na druhou - 6x + 9) lomeno (x na druhou - 9 )
První věc kterou dělám, kdykoli vidím podobnou
limitu je , že dosadím číslo a
uvidím, jestli dostanu něco co dává smysl a
tím bych byl hotov.
Obvykle by to stačilo.
No, nebudu takhle předbíhat.
Když je funkce spojitá tak bychom měli hotovo.
Ale když dosadíme 3 do čitatele, dostaneme 3 nadruhou,
což je 9, mínus 18 + 9.
Takže to je 0.
A jmenovatel taky ... 3 na druhou mínus 9
je také 0.
A nám se nelíbí mít 0 lomeno 0.
... Moje pero zase selhává....
Prostě se nám nelíbí mít 0,0,0, takže je tu způsob jak
zjednodušit tenhle výraz a dostat ho
do tvaru, kdy dosadíme za x 3 a dostaneme
něco co dává smysl?
Kdykoli vidím dva takovéhle polynomy, které
vypadají docela jednoduše,
rád je rozložím, protože možná tam je
stejný člen ve jmenovateli i čitateli,
a pak to můžeme zjednodušit.
Takže tohle je to samé jako... vypadá to
jako x plus 3 ... ne, ne, ne, x mínus 3.
Tohle je x mínus 3.
Vypadá to jako (x-3)nadruhou, ale napíšeme
prostě (x-3) krát (x-3),což je samozdřejmě
(x-3)nadruhou.
A dále ve jmenovateli, však vy víte jak na to,
to bude (x+3) krát (x-3), že?
Takže limita přibližující se ke 3 tohohle výrazu je to samé jako
limita přibližující se ke 3
tohohle výrazu.
A samozřejmě, nemůžeme nic udělat s tím,
že tahle funkce, nebo tenhle výraz není definovaný
v x se rovná 3.
Ale pokud to zjednodušíme, můžeme přijít na to,
k čemu se to přibližuje.
Když předpokládáme, že x je jakékoli číslo kromě 3, můžeme
vyškrtnou tyto dvě závorky, protože by to nebyla 0, že?
Je to nula jen když x je 3... takže v čitateli
a ve jmenovateli, můžeme vyškrtnout tohle.
A můžeme říci...a teď nebudu znít moc rigorózně, ale
takhle nějak se to učí, a myslím, že to pochopíte...
že tohle je to samé jako limita x
přibližující se ke 3 funkce x-3 lomeno x+3.
Teď se zkusíme dosadit a uvidíme co dostaneme.
V čitateli dostaneme 3-3.
To je 0.
Ale ve jmenovateli dostane 6.
3+3 je 6.
Takže dostaneme dobré číslo.
0 lomeno 6, to je raálné číslo, je to 0.
0/6 je 0.
To bylo zajímavé.
Poprvé když jsme to dělali, dostali jsme 0/0.
A teď máme odpověď 0 jenom tím, že jsme to zjednodušili.
Samozřejmě je důležité si pamatovat, že
tento vvýraz není definován v x je rovno 3.
Je definován kdekoli jinde, ale kdybychom to chtěli načrtnout,
a v tom vás podporuji, viděli bychom, že jak se
blížíme k x je rovno 3, že hodnota
tohoto výrazu by byla rovna 0.
A vím, že si říkate.
Tohle bylo 0/0.
Pokaždé když dostanu 0/0, vyjde mi nakonec 0 když
dosadím do výrazu?
Tak se na to pojďme podívat.
Tohle smažu.
Kolik je... pero nefunguje... limita x
blížící se k 1 funkce x nadruhou mínus x mínus 2.
Ne, řekněme x nadruhou plus x minus 2.
Jak můžete vidět, dělám to všechno v hlavě a
dělám chyby.
A tohle celé lomeno x mínus 1.
Ještě jednou, když dosadíme, pojďme se kouknout co
se stane když x je rovno 1.
Dostanete 1nadruhou + 1, to je 2-2.
Dostanete 0/0.
Zase máme 0/0 a musíme s tím něco udělat.
možná to zjednodušit.
Pojďme rozložit vršek.
To je to samé jako limita x přibližující se k 1.
to je (x-1) krát (x+2).
A myslím, že si často všimnete,
že i když je tenhle polynom
těžší rozložit, šance je, že jedna z věcí
ve jmenovateli, které dělají tento výraz
nedefinovaným je pravděpodobně i člen tady nahoře.
Někdy můžete dostat složitější věc, která nejde
tak lehko rozložit jako toto, ale dobrý začátek je
předpokládat, že jeden člen bude ve výrazu
dole, protože to je takový trik těchto příkladů,
prostě to jenom zjednodušit.
Ještě jednou, předpokládáme, že x se nerovná 1 a
tenhle výraz nebude 0 a tohle nebude 0,
tyhle dvě se mohou vyloučit.
A dostaneme, že tohle je to stejné jako limita
přibližující se k 1 funkce x+2.
A teď už je to jednoduché.
Kolik je limita x přibližující se k 1 funkce x+2?
Jen dosadíte 1 a dostanete 3.
To je zajímavé.
Když prostě zkusíme vyhodnotit tento výraz
x rovno1, dostaneme 0/0.
A v předchozím příkladě jsme viděli, že jsme dostali 0,
když jsme to zjednodušili, a v tomto příkladě nám vyšlo 3.
A opravdu vás nabádám, jestli máte grafickou kalkulačku,
vykreslete si tyto funkce, které děláme a dokažte si
vizuálně, že to je pravda, že limita jak se přibližujete
x rovno 1 opravdu se přibližuje tomu,
co jsme zde vyřešili.
A vymyslete si své příklady.
Diť to je, to co dělám já.
Můžete si to dokázat sami sobě.
Pojďme na další.
Uděláme jeden, který je podle mě zajímavý.
Kolik je limita x přibližující se k nekonečnu?
Limita přibližující se nekonečnu funkce
(x nadruhou plus 3) lomeno (x na třetí)
Já o tom přemýšlím tak, že jak se blíží k
nekonečnu, přemýšlím co se děje, když dostáváme
opravdu hodně velké hodnoty x.
A tak trochu podvádění je to zkusit, když máte
kalkulačku, nebo i když jí nemáte...Dosadit
obrovská čísla.
Co se stane když x je milión, a co když
x je miliarda, a co když je ještě větší?
Myslím že mě chapete.
Uvidíte, pokud tam limita je, uvidíte
k čemu se blíží.
Ale já *** tím přemýšlím tak, že v čitateli
člen s největší mocninou je x nadruhou, že?
To je člen s největší mocnicnou.
Ve jmenovateli, co je člen s největší mocnicnou?
Ve jmenovateli člen s největší mocninou
je tohle x na třetí.
Co bude růst rychleji, x na třetí
nebo x na druhou?
Ano, x na třetí bude růst mnohem rychleji
než x na druhou.
Takže tenhle jmenovatel, jak dostáváte větší a větší
hodnoty x, bude růst mnohem rychleji než čitatel.
Takže si dokážete představit když jmenovatel roste
mnohem rychleji než čitatel tím jak dostáváte
vetší a větší čísla, budete dostávát menší a menší
číslo, že?
Přibližuje se to k 0.
a tak jak jdete k nekonečnu, přibližujete se k 0.
Vím, že to nezní tak přesvědčivě, ale opravdu
takhle o tom přemýšlíme.
Jiný způsob je ve skutečnostit vydělit
tyhle výrazy.
Můžete vydělit tyhle výrazy, a dostali
byste něco jako 1/x plus něco, něco, něco
a pak byste také viděli, aha tahle limita jak x
se blíží k nekonečnu funkce 1/x je také 0.
Uděláme ještě jeden.
Udělám to rychle, tak vás můžu zmást.
Limita x blížící se k nekonečnu funkce 3x nadruhou plus x
lomeno 4x nadruhou mínus 5.
Tyhle příklady občas mohou zmást, ale
jsou opravdu jednoduché.
Musíte jen přemýšlet na tím co se stane, když dostane
opravdu velké hodnoty x.
Jak budete dostávát velké hodnoty x, tyhle členi s
malou mocninou rostou pomalu, ne jako ty s velkou mocninou,
Už na nich tak nějak nezáleží, protože dostanete opravdu
velké hodnoty x
A tenhle případ, na těhlech už nezáleží, a
tyhle dvě x rostou stejně rychle, že?
A vždycky budou tak nějak růst
v poměru 3 ku 4.
Takže limita ve skutečnosti je takhle jednoduchá.
Je to 3/4.
To co sme udělali, bylo jen přijít na to co je
člen s největší mocninou nahoře, co je člen s největší mocninou
dole a pak přišli na to k čemu se to blíží.
Pokud mají stejnou mocninu, tak se tak nějak vyruší a
vy řeknete, že limita je 3/4.
Tohle opravdu není příliš rigorózní cesta výpočtu, ale
dá vám správnou odpověď.
Uvidíme se v další prezentaci.