Tip:
Highlight text to annotate it
X
...
Minule jsme se věnovali
střední hodnotě náhodné proměnné,
což je v tomto případě aritmetický průměr populace.
V případě, že máme náhodnou proměnnou populace,
která je nekonečně veliká, nelze vzít všechny její hodnoty
a zprůměrovat je.
V tomto případě je nutné zjistit
četnost nebo pravděpodobnost.
Jde o pravděpodobnost, která je vážená.
V minulém videu jsme ukázali, že jde o stejnou věc.
Sečteme všechny členy dohromady a podělíme je počtem
hodnot s tím, že metoda fungovala pro nekonečný
počet členů, pro nekonečně veliké populace.
Tu představuje náhodná proměnná.
Můžeme opakovat pokusy
a vytvářet náhodné proměnné.
Potom spočítáme střední hodnotu
konkrétního binomického rozdělení, které právě zkoumáme.
Zejména jde o případ házení mincí.
Zde se dozvíte, jaká je rovnice pro průměr,
nebo spíše střední hodnotu binomického
rozdělení.
Říkáme, že náhodná proměnná x je rovna
počtu úspěchů.
...
Počet úspěchů s pravděpodobností p po n pokusech.
Toto je obecnější vyjádření téhož.
Jde o počet úspěšných hodů hlavy,
která má pravděpodobnost 0,5 po deseti hodech.
Což je identické,
a zde je to obecnější.
Teď spočítáme
střední hodnotu tohoto rozdělení.
Pokud zjistíme pravděpodobnostní
rozdělení této náhodné proměnné, získáme
binomické rozdělení, jehož křivka bude mít
tvar zvonu.
O těchto křivkách si povíme později.
Před tím, než si ji ukážeme,
toto je výsledek.
Výsledek je do určité míry
intuitivní.
Střední hodnota této náhodné proměnné je n krát
p, nebo také lze napsat p krát n.
Teď si to ukážeme prakticky.
Takže, pokud je X--a teď změním barvu--
Pokud je x rovno počtu košů, které hodím.
Tedy v basketbalu.
Počet košů po deseti hodech, přičemž mám
pravděpodobnost, že budu skórovat, například 40 %.
Střední hodnota počtu košů po deseti hodech
je známá.
Střední hodnota pro počet košů po
deseti hodech, přičemž každý hod má 40% pravděpodobnost, že se trefí,
je násobek pravděpodobnosti krát počet
hodů.
Vynásobím pravděpodobnost krát počet
hodů. To se rovná 4.
Nelze se na střední hodnotu
dívat pouze jako počet hodů, které
očekáváme, že se trefí do koše, protože někdy funguje rozdělení
pravděpodobnosti trochu neočekávaně.
Ale v binomickém rozdělení
se lze na to tak dívat.
A to, že jde o počet hodů, u který se čeká, že se trefíme do koše.
Nebo se na to lze dívat jako na nejpravděpodobnější výsledek.
Tedy, pokud máte 40 % úspěchu, pak při 10
hodech je nejpravděpodobnější skóre 4 koše.
Lze jistě trefit 6 košů nebo jen 3, ale tohle bude
nejpravděpodobnější výsledek.
Lze o tom přemýšlet také intuitivně:
že pokaždé, když hodím míč, mám 40% šanci,
že se trefím.
Takže pokaždé jakoby hodím 40 % koše.
A po deseti hodech to dá 4 celé koše.
Tento způsob je možná
víc intuitivní.
Teď přineseme důkaz, že to je
pravda pro každou náhodnou proměnnou, která je charakterizována
binomickým rozdělením.
V binomickém rozdělení, jaká je pravděpodobnost,
že X je rovno k?
Teď je to trochu složitější úvaha.
Jaká je pravděpodobnost
v naší basketbalové analogii?
Jaká je pravděpodobnost, že
trefím 3 koše, nebo něco podobného.
To je náš případ.
Ukázali jsme si, že pokud hodím míč n krát,
vybereme k hodů.
Což jsme udělali několikrát v předchozích videích.
Pak to vynásobíme pravděpodobností jakéhokoliv
z těchto konkrétních případů.
Takže při k hodech, to bude pravděpodobnost, že
se trefím do koše, což je p na k-tou:
p krát p... k krát
To je pravděpodobnost, že se trefím do koše k krát.
A zbytek hodů se netrefím.
Pravděpodobnost, že se netrefím je 1 mínus p.
Kolik je to hodů?
Při k hodech, zbytek hodů jsem se netrefil.
Netrefím se n mínus k hodů.
V binomickém rozdělení je toto pravděpodobnost,
že se dosáhne k úspěchů.
Ukázali jsme si, že střední hodnota náhodné proměnné
je suma vážená
pravděpodobností.
Nechci do toho vnášet zmatek: to je všechno, co je potřeba
si vzít z tohoto videa.
A to je již úspěch.
Teď to bude trochu technické,
ale pomůže to lépe pochopit
použité značení, např. sigma pro sumu.
Teď již víte víc o
binomických koeficientech.
Takže jsme zjistili, že střední hodnota je
suma vážená pravděpodobností každého z těchto případů.
Vezme se pravděpodobnost, že
X je rovno k, krát k, a pak se to sečte
pro každý možný případ.
Jak se to napíše?
Střední hodnota X, střední hodnota náhodné
proměnné charakterizované binomickým rozdělením je
rovno součtu, sumě.
...
Sumě všech hodnot, kterých k může nabývat.
Takže k začne na 0--v basketbalové verzi se mi nepodařilo trefit
ani jednou--až k n, což znamená, že se mi podařilo proměnit n hodů na koše.
Pro každý případ vynásobíme k, takže ve výsledku
hodím k krát, krát pravděpodobnost, že
se trefím k krát do koše.
Jaká je pravděpodobnost, že se trefím k krát do koše?
To je tento případ.
Bude to k krát n *** k krát p na k krát 1,
mínus p na n mínus k.
Teď trochu algebry.
Můžeme tomu říkat sigma algebra.
První zjednodušení je,
suma k rovno 0 až k n.
První člen zde bude mít k rovno 0.
Toto bude 0 v prvním členu.
Pak tento první člen je 0, a toto celé bude
0, a pak člen 'k je rovno 0' nepřispěje nijak k celkové sumě,
protože tato celá část bude rovna 0.
Tato suma
může být rozepsána jako 0 krát n *** 0 krát p na 0 krát 1
mínus p na n mínus 0.
Plus 1 krát n *** 1 krát p na 1 krát 1 mínus
p na n mínus 1.
Pak budeme sčítat, až
se dostaneme k je rovno n.
Bude to n krát n *** n krát p na n, krát
1 mínus p, n mínus n.
Což je jen jiný způsob zapsání této sumy.
První člen pak
bude roven 0, protože k je rovno 0.
0 krát cokoli je 0.
Takže tento člen můžeme vypustit a přepsat sumu jako
Tuto sumu zde.
...
Pokud to uděláme,
přepíšeme celou věc zde.
Takže střední hodnota náhodné proměnné
je rovna této sumě.
Nemusíme jít od k rovno 0, můžeme začít
k rovno 1.
Od k rovno 1 až k n, to je stejné. k krát n ***
k krát p na k, krát 1 mínus p, n mínus k.
Tak, co teď.
Zbavili jsme se prvního členu, protože
tím zjednodušíme rovnici na
výsledek, který potřebujeme.
Vypíšeme binomický koeficient a uvidíme,
co s tím.
Podívejte.
Můj iPod synchronizuje.
Toho se zbavíme.
Takže, kde jsme byli?
Toto je rovno--teď vypíši
binomický koeficient.
k je rovno 1 až n.
k krát--toto zde je faktoriál n lomeno faktoriál k
lomeno faktoriál n mínus k.
Krát po na k krát 1 mínus p na n mínus k.
Zde to jde zjednodušit,
protože co je k lomeno faktoriál k?
Můžeme to napsat jako faktoriál k je k
krát k mínus 1 krát k mínus 2, atd.
až k 1.
Toto je faktoriál k.
Faktoriál k lze napsat jako k krát faktoriál k mínus 1.
To je k krát, a pak číslo o 1 menší a pak k krát
všechna čísla pod tím.
Přepíšeme to
na k krát faktoriál k mínus 1.
A teď mohu vyrušit
toto k s tamtím k.
Teď to přepíši,
celé znovu.
Po zjednodušení se to rovná
sumě od k je rovno 1 do n, faktoriálu n lomeno faktoriál
k mínus 1.
Krát faktoriál n mínus k krát p na k krát 1 mínus
p na n mínus k.
Uděláme další zjednodušení.
Cíl už je tedy
na dohled.
To se zjednoduší na n krát p.
Teď zkusíme vyčlenit n krát p a pak
uvidíme, zda se zbytek dá proměnit na 1,
a to bude konec.
Přepíšeme faktoriál n pomocí stejné metody jako nahoře.
Faktoriál n se přepíše jako n krát faktoriál n mínus 1,
je to stejná úvaha.
A pak p na k se může napsat jako p krát
p na k mínus 1.
Pak můžeme vyčlenit toto n a toto p a máme
rovno na np krát suma od k je rovno 1
do n, a čeho?
Po vyčlenění n a p.
faktoriál n mínus 1 lomeno faktoriál k mínus 1 krát
faktoriál n mínus k.
Krát p na k mínus 1.
To není dělitel.
Krát 1 mínus p na n mínus k.
A jsme skoro na konci.
Chceme zjistit střední hodnotu
naší proměnné.
To je rovno tomuto.
Budeme hotovi, pokud se tato část
bude rovnat 1.
Abychom toho dosáhli, musíme to zjednodušit pomocí náhrady.
Nahradíme, řekněme
a je rovno k mínus 1.
A také b je rovno n mínus 1.
Pak se n mínus k rovná čemu?
To uvidíme.
Pokud a je rovno k mínus 1, pak a plus 1 je rovno k.
A potom zde, b plus 1 je rovno n, takže pak n mínus
k bude rovno tomuto, a plus 1 mínus toto.
Mínus b mínus 1, to se vyruší.
Což je rovno a mínus b.
Zkusíme to dál zjednodušit.
Tato suma pak bude np krát suma
od--když k je rovno 1, to je stejné--
když k je rovno 1, čemu se rovná a?
a je rovno 0.
Od a rovno 0 do--když k je rovno n,
čemu se a bude rovnat?
Pokud toto je rovno n, pokud k je n, pak a je
rovno n mínus 1.
Máme a rovno a až k a rovno n mínus 1.
Ale n mínus 1 je stejná věc, jako b.
Takže můžeme přepsat sumu.
Tady to může být trochu matoucí.
Možná si chcete video na chvíli zastavit a promyslet si to.
A už teď trochu protahuji,
takže si pospíším.
Potom máme b, které je rovno n mínus 1.
Takže to bude faktoriál b lomeno k mínus 1,
což je v naší definici a rovno a.
To je faktoriál a.
A pak zde, n mínus k by mělo být
Podívejme.
Otočil jsem toto, n mínus, to by mělo být b mínus a.
n mínus k, správně.
n je b plus 1, takže to je b plus 1 mínus a plus 1.
Mínus a, mínus 1.
Takže jedničky se vyruší a zbude b mínus a.
Takže z n mínus k se stane faktoriál b mínus a.
A pak p od k mínus 1--k mínus 1 je p na a.
A pak krát 1 mínus p to na n mínus k.
Už jsme viděli, že n mínus k je stejné, jako
b mínus a.
A pak zde, a už je to skoro hotové.
Zde, co je to?
To je pravděpodobnost, teď to
zjednoduším.
Je to rovno np krát suma od a rovno 0 do b.
A to je co?
To je b *** a.
Mám b věcí a chci z nich vybrat a věcí:
kolika různými způsoby mohu, krát p na a krát 1
mínus p na b mínus a.
Což je?
To jsou všechny možnosti binomického
rozdělení.
Jaká je pravděpodobnost, že
a je rovno 0?
To je pravděpodobnost pro každé a.
To se sečte pro všechna a, která lze dosáhnout.
Takže, kdybych měl načrtnout to rozdělení,
pokud a je rovno 0, toto je pravděpodobnost.
Pak pravděpodobnost, že a je rovno 1, a pak
další pravděpodobnost, a to se zvyšuje
Pak se stáčí do tvaru zvonu.
Tato část zde je složena z toho
Každý obdélník přestavuje
jeden z případů.
Když a je rovno 0, jde o tento případ.
Když a je rovno 1 jde o tento příapd.
Když a je rovno 2 jde o tento případe, až k b počtu případů.
Sečteme je, a tak sečteme
pravděpodobnosti.
Sečteme všechny hodnoty,
které může naše náhodná proměnná dosáhnout.
Takže, pokud jsme vyřešili všechny pravděpodobnosti, které náhodná
proměnná může mít, sečteme je přes všechny hodnoty.
To bude rovno 1.
To je stejné, jako tvrdit, že toto je pravděpodobnost, že padne hlava,
plus pravděpodobnost, že padne orel.
Nebo také lze říct, že
toto je pravděpodobnost, že padne jedna hlava plus
pravděpodobnost, že padnou 2 hlavy, plus pravděpodobnost, že padnou 3
hlavy, plus pravděpodobnost, že padnou 4 hlavy, až k pravděpodobnosti,
že padnou b hlavy.
To jsou všechny případy, které mohou nastat.
To je suma celého rozdělení
pravděpodobnosti, a to je rovno 1.
Zbývá nám střední hodnota naší
náhodné proměnné X, což je rovno n krát p.
Přičemž n je počet pokusů a p je pravděpodobnost
úspěchu v každém pokusu.
To platí pouze binomická rozdělení.
Neplatí to pro jakoukoli náhodnou proměnnou X.
Pouze skutečně náhodnou proměnnou X, jejíž rozdělení
pravděpodobnosti je binomické.
Tak už dochází čas.
Uvidíme se příště.
...