Tip:
Highlight text to annotate it
X
V tomto videu bych se rád znovu podíval na to,
co víme o π, jak vlastně měříme úhly v radiánech
a zamyslet se, jestli je π opravdu to nejvhodnější číslo,
kterému bychom měli věnovat pozornost.
Pojďme se tedy podívat na to, co jsem právě řekl.
Víme, že π je definováno jako, 'definováno' zapíšu jako trojité rovná se,
řekněme, že se to tak dá nazvat.
π je definováno jako poměr obvodu kružince děleno jejím poloměrem,
což je to samé jako poměr obvodu kružnice děleno dvojnásobkem poloměru,
z čehož získáme všechny tyhle zajímavé rovnice,
které znáte z hodin geometrie.
A pokud máte poloměr a chcete zjistit obvod,
stačí obě strany rovnice vynásobit 2r
a dostanete 2 krát poloměr krát π se rovná obvodu,
nebo, jak je lépe známo,
obvod se rovná 2πr.
Tohle je jedna ze základních věcí, které se naučíte velmi brzy
a využíváte ji většinou k nalezení obvodu
nebo, pokud obvod znáte, k nalezení poloměru.
A z toho vychází způsob, jakým měříme úhly v radiánech.
Jen si rychle zopakujeme -
nakreslím si kruh.
No, zkusím nakreslit lepší...
Tak tady je můj... No, to bude muset stačit...
Tady je pozitivní strana osy x.
A tady si nakreslím libovolný úhel. Udělám jen jednoduchý úhel,
ať je to... tak, tady máme úhel.
Když měříme úhly v radiánech,
úhel, který chceme měřit je ohraničen délkou nějakého oblouku
a my dokážeme změřit délku tohoto oblouku v rá...
no, já si to rád představuji tak, že úhel je v radiánech
a délka toho oblouku v rádiusích (poloměrech),
což sice není gramaticky správně,
ale rád si to tak představuji.
Jak dlouhý v rádiusích je tento oblouk,
který ohraničuje tento úhel v radiánech?
Ukážu vám, co mám na mysli.
Takže, toto je délka oblouku.
Pokud je poloměr ,r',
jaká je délka tohoto oblouku?
Ze základní geometrie víme,
že celý obvod je roven 2πr.
Tento celý obvod kružnice je, už podle naší definice,
roven 2πr, takže jaká je délka tohoto oblouku?
Předpokládám, že tohle je čtvrtina celé kružnice,
takže délka bude 2πr lomeno 4.
Takže tato délka je 2 pí r lomeno 4,
což je to samé jako pí lomeno 2, krát r, nebo by se dalo říct
pí lomeno 2 rádiusy... Rádiususy..
Zase, to sice není slovo, ale já si to tak představuji
Nebo se dá říct, že tento oblouk ohraničuje
úhel o velikosti pí lomeno 2 radiánů. Takže tu máme, že úhel theta se rovná pí / 2 radiánů.
Takže když měříme úhel v radiánech, tak vlastně
říkáme "oukej, tenhle úhel je ohraničen obloukem,
který má délku tolika a tolika rádiusů"
Ani nevím, jak je množné číslo od "rádius"...
Mám dojem, že je to "rádie", ale je sranda říkat rádiusy.
Ale měl bych raději říkat rádie, jen aby mi nikdo nemohl říct:
"Sale, učíš lidi špatný tvar množného čísla od slova rádius!"
Rádie.. Takže, délka tohoto oblouku je pí / 2 rádiů
a ohraničuje úhel o velikosti dvou radiánů. Mohli bychom
udělat další, jen abychom si to vyjasnili.
Pokud byste šli kolem celého kruhu -
takhle, úplně dokola, až se dostanete zpátky
k pozitivní straně x, jak je dlouhý tento oblouk?
Teď je délka tohoto oblouku stejná, jako délka obvodu kružnice,
což je 2 pí r, což je to samé jako
2 pí poloměrů, takže se dá říct, že úhel,
ohraničený tímto obloukem, úhel,
který teď jde kolem celé kružnice, je 2 pí radiánů.
A z tohoto vyplývá všechno, co víme o tom,
jak kreslit grafy trigonometrických funkcí,
a jakým způsobem měříme grafy na ose x.
Také se zmíním o Eulerově vzorci,
který je dle mého názoru nejhezčí vzorec v celé matematice.
Pojďme se na to podívat hned, jen pro připomenutí,
jak do toho všeho spadá pí. Pokud si vemete
trigonometrické funkce, nezapomeňte,
že, v hodinách trigonometrie předpokládáme,
že toto je jednotková kružnice. Takže, u trig. funkcí,
tohle je jejich definice na jednotkové kružnici.
Teď si to můžeme krásně shrnout. Předpokládejme,
že máme jednotkovou kružnici o poloměru 1, a trig. funkce jsou definované
pro všechny úhly, které můžeme mít, pro každý úhel theta,
kosinus theta je, jak daleko musíme jít..
nebo lépe, x-ová souřadnice tohoto bodu na oblouku,
který ohraničuje úhel theta, to je kosinus theta. A potom
sinus theta je y-ová souřadnice tohoto bodu. Kosinus je x-ová hodnota,
sinus je y-ová hodnota. A pokud byste chtěli nakreslit graf
jedné z těchto funkcí, já udělám sinus theta,
ale vy klidně zkuste kosinus theta.. Takže,
nakresleme graf sinu theta. Uděláme jednu periodu
sinu theta. Označíme si, když je úhel 0,
tak sinus theta je 0. Nakreslím osy x a y,
jen ať víme, tohle je osa y,
a tohle je osa x... Takže když úhel je 0,
tak jsme v tomto bodě na jednotkové kružnici, hodnota y je 0,
takže sinus theta bude tady,
Nakreslím to.
Tohle je úhel theta a tohle - kreslím graf
sinu úhlu theta podle osy y, řekneme, že y se rovná
sinu theta na tomto grafu, který kreslím.
A teď můžeme udělat, já udělám jen jednoduché body,
Teď uděláme úhly, pokud bychom měřili ve stupních,
tak by to bylo 90°, a v radiánech pí / 2 rad.
Kolik se sinus theta?
Teď je to 1, toto je jednotková kružnice, má poloměr 1,
takže když jsme v pí / 2, když se theta rovná pí / 2,
tak sinus theta se rovná 1. A to je tady.
Sinus theta se rovná 1. Když půjdeme to 180°,
neboli do poloviny kružnice, theta se teď bude rovnat pí.
Theta je.. nakreslím to oranžovou barvou. Ne, oranžovou už jsem použil...
Když se theta rovná pi, hodnota y
v tomto bodě je znova 0. takže jdeme zpět
do nuly, pamatujte, že mluvíme o sinu theta.
A teď můžeme jít až sem dolů,
což můžete chápat jako 270° nebo
3 pí / 2 rad. Takže tahle osa je v radiánech.
Takže 3 pí / 2 radiánů, sinus theta je
ypsilonová souřadnice na jednotkové kružnici,
v tomto bodě. Takže to bude mínus 1.
A nakonec, když obejdete celý kruh,
ujdete 2 pí radiánů a jste zpět, kde jste začali,
a sinus theta, neboli y-ová souřadnice je teď rovna 0.
A když pospojujete tečky, pokud byste
nanesli více bodů, tak uvidíte část sinusoidy,
část, kterou jsme tady nanesli.
Tohle je další využití pí. Možná se ptáte "Hej Sale,
kam tímhle vším míříš?" Pouze vám připomínám,
k čemu všemu se pí dá využít, protože se k tomuto
vrátíme ještě s jiným číslem, než s pí.
Poslední věc, na kterou se chci s pí podívat je...
Můžete říct "Hele, pí je užitečné, protože
se zdá, že má nějaké magické schopnosti,
a už v seznamu videí Kalkulus jsme viděli,
že existuje nějaký Eulerův vzorec:
e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)
Toto je jeden z těch neuvěřitelných vzorců
ale může vypadat ještě více neuvěřitelně
když za thetu dosadíme pí, protože pak se
z tohoto vzorce stane e^(iπ) se rovná...
kolik je kosinus pí? Cos(π) = -1,
a sinus pí je nula, takže nula krát i, takže dostanete
e^(iπ) = -1, což je velmi zajímavé, ale ještě si můžete říct,
"Oukej, pokud chci spojit všechna nejdůležitější čísla
v jednu rovnici, tak přičtu 1 k oběma stranám rovnice,
takže dostaneme e^(iπ) + 1 = 0
Toto je také nazýváno Eulerova rovnost, nejkrásnější
rovnice v matematice.
A opravdu je velmi zajímavá, obsahuje všechna základní
čísla - e, i, π, 1 a 0.
I když mě by se ještě více líbilo,
kdyby ta jednička byla tady.
Protože pak by celá tahle bizarní věc e^(iπ)
byla rovna jedné. Tak by bylo super zajímavé.
Připadá mi to trochu jako podvod, že jsme museli přičíst 1
na obě strany jen aby "Oh hele, teď tu mám nulu!"
Ale i tak je to pořád hodně dobré. A ohledně toho,
vám teď chci ukázat, proč bychom.. no, nebudu se zastávat
tohoto názoru, ale ukážu vám ještě jiné číslo než pí.
A ještě bych rád zmínil,
že tyto nápady nejsou moje vlastní, toto hnutí, hnutí za Tau,
bylo inspirováno mnoha lidmi, a tito lidé
byli důvodem, proč jsem chtěl udělat tohle video.
Prvním je Robert Palais a jeho článek Pí je špatně,
ve kterém netvrdí, že by pí bylo špatně vyčísleno,
souhlasí, že pí je poměr obvodu kružnice
ku jejímu průměru a že se rovná přibližně 3,14159.
Ale tvrdí, že věnujeme pozornost špatnému číslu.
Dále je zde Michael Hartl a jeho Tau manifesto.
Všechno lze nalézt na internetu. Zastávají se čísla,
které nazvali Tau.
Tau definují jako - pouze s malou změnou od definice pí -
tedy nedefinují ho jako poměr obvodu
kružnice k jejímu poloměru, neboli obvodu kružnice
ku dvojnásobku poloměru, ale raději si řekli:
"Hele, nebylo by přirozené mít nějaké číslo definované
jako poměr obvodu kružnice ku poloměru?"
A jak můžete vidět, pí je pouze polovina krát tohle tady, že?
Obvod lomeno 2 r je to samé jako
polovina krát obvod lomeno r, takže pí je vlastně
polovina tau, nebo obráceně, tau je
dvojnásobek pí neboli, což nejspíš ještě
nemáte zapamatované, protože:
"Počkej, celý život jsem se snažil si zapamatovat pí!"
Ale tau je 6,283185 a tak dále a tak dále a nikdy
se neopakuje, stejně jako pí. Tau je dvakrát pí.
Takže si říkáte "Hej, Sale, pí tu bylo po tisíciletí, proč
bychom si měli zahrávat s tak základním číslem,
obzvlášť po tom, cos dokázal, jak zajímavé je?"
No a hlavním argumentem je, a mě to připadá
jako velmi dobrý argument, že
vše vypadá mnohem elegantněji, pokud
používáte tohle číslo, namísto poloviny
tohoto čísla. A abychom si to dokázali,
pojďme se znova podívat na všechno, co jsme dneska udělali.
Nyní se budeme více soustředit na 2pí místo pí,
neboli na tau, místo tau/2. Jaký je tento úhel,
který jsme nakreslili purpurovou?
Nejprve se zamyslíme *** touto rovnicí.
Kolik je obvod kružnice v poloměrech?
Teď tvrdíme, že obvod je roven
tau krát poloměr, protože tau je to samé,
jako 2 pí. Trošku nám to tu rovnici uklidilo,
ale dá se argumentovat, že to velmi zkomplikovalo
pí krát r^2, takže to má své pro i proti, ale
při měření v radiánech, to dává mnohem větší smysl,
protože se dá říct, že tohle je pí/2 radiánů, nebo
že pí/2 radiánu je to samé, jako
tau/4 radiánů. Jak jsem na to přišel?
Vzpomeňte, pokud obejdete celou kružnici,
neboli její obvod, délka tohoto oblouku
je tau poloměrů a ten úhel by byl
tau radiánů. Úhel ohraničený obloukem o délce tau poloměrů,
by byl tau radiánů. Celá jedna kružince je jedno tau radiánů,
což je velmi snadno pochopitelné. Jedna perioda,
jeden oběh kolem kružnice je tau radiánů. Pokud máte
pouze čtvrtinu otočky, bude to tau/4 radiánů. Takže důvod,
proč je tau tak snadné na pochopení je, že si nemusíte
pořád říkat "vyděl dvěma, vynásob dvěma"
Podívejte, kolik tau radiánů máte, tolikrát
jste obešli jednu kružnici, no a pokud víte,
že jste ušli jen jednu čtvrtinu kružnice,
tak je to tau/4 radiánů. Pokud ujdete půlku,
je to tau/2 radiánu, pokud ujdete 3/4 kružnice,
bude to 3tau/4 radiánů. Pokud půjdete kolem celé kružnice,
je to tau radiánů. Kdyby vám někdo řekl, že
chtějí úhel 10 tau rad, půjdete dokola přesně 10 krát.
Počítání by bylo mnohem snadnější, kdybyste
v hlavě pořád nemuseli násobit a dělit dvěma,
při převádění na radiány. Pokud počítáte s tau,
je to přirozené.
Jedna otočka je jedno tau radiánů. Také to usnadní
tuto sinusoidu. Místo abych napsal pí/2, tak pokud
se podíváte na ten graf, kde byl tento bod na jednotkové
kružnici? Byl v jedné čtvrtine? V jedné polovině?
Byl v jedné čtvrtině té kružnice, což je tady,
ale když to napíšete v tau, je to mnohem přirozenejší
Pau, teda, ne pau, pí lomeno 2 je to samé
jako tau/4, pí je to samé jako tau/2,
3pí/2 je 3/4 tau a nakonec
jedna perioda je jedno tau. A hned je na první pohled
jasné, kde přesně se na té jednotkové kružnici nacházíte.
Tady jste v 1/4 kružnice,
v jedné polovině kružnice,
ve 3/4 kružnice a nakonec
kolem celé kružnice. Poslední věc,
kterou by mohli zastánci Pí říci, je:
"Sale, před chvílí jsi ukázal nejkrásnější vzorec,
nejkrásnější rovnost v matematice, jak do toho
tau zapadá?" No, pojďme to vyzkoušet, ať vidíme,
co se stane. Pokud máme e^iτ, tak nám to dá
cos(τ) + isin(τ). Zase se podíváme,
čemu se to rovná. Tau radiánů znamená,
že jsme šli kolem celé kružnice,
takže kosinus tau - jsme zpátky na začátku jednotkové
kružnice - takže kosinus tau
se rovná 1 a sinus tau se rovná 0.
Sinus tau se rovná 0, takže e^iτ = 1.
A už nechám na vás, abyste rozhodli,
která z těchto dvou rovností vypadá lépe.