Tip:
Highlight text to annotate it
X
V tomto videu budu mluvit o spojitosti.
Spojitosti funkce je jednoduché si všimnout, když ji vidíte.
Budeme ale taky mluvit o přesnější definici.
Co myslím tím, že je jednoduché si jí všimnout?
Nakreslím tu pár funkcí. Tohle je osa y, tohle x.
Kdybych teď nakreslil funkci, f(x) by vypadala třeba nějak takhle,
a zeptal se, jestli na intervalu na kterém jsem ji nakreslil,
tedy od x=0 do tohoto bodu
je tato funkce spojitá? Vy byste řekli "Ne, není."
Tady vidíme, jak funkce najednou poskočí
z bodu do toho *** ním.
Tohle NENÍ spojité.
Můžeme říct, že máme nespojitost pro tuto hodnotu x.
Toto budeme nazývat nespojitost
a tenhle konkrétní typ "skoková" nespojitost.
Je vidět, že tyhle dvě části na sebe nenavazují.
Nedotýkají se.
Podobně, kdybychom měli funkci, která vypadá.. Nakreslím tu jinou.
y a x. Řekněme, že funkce bude vypadat nějak takhle.
Vypadá asi takto a pak je v tomto bodě.
Tady
Je funkce spojitá na intervalu, který jsem tu načrtl?
Hned byste řekli "ne, není," protože tady v tom bodě funkce poskočí nahoru do tohoto bodu.
Takhle. Tento typ nespojitosti se nazývá "odstranitelná" nespojitost.
Někdo by mohl tvrdit, že tohle taky vypadá jako skok, ale tahle možnost se kategorizuje jako odstranitelná
protože pokud pouze předefinujeme funkci, aby bod nebyl tady nahoře
ale tady dole, dostaneme spojitou funkci. Můžeme tedy jednoduše
odstranit nespojitost.
Teď nakreslím další funkci.
Opět, osy x, y.
A zeptám se, je tahle spojitá na intervalu na kterém jsem ji znázornil?
Vy byste řekli "jo, vypadá celá spojitá, nejsou tu žádné skoky,
žádné odstranitelné nespojitosti. Vypadá spojitá."
Spojitá.
A měli byste pravdu.
Tohle je obecně spojitost.
Dá se celkem poznat z grafu.
Zamysleme se ale *** přesnější definicí.
Už máme definici pro limity:
epsilon-delta definice nám přesně definuje limity.
Můžeme díky ní dokázat, kdy limita existuje a jakou má hodnotu.
Mohli bysme tohle použít pro definování spojitosti.
Mějme nějakou funkci na intervalu.
Třeba... nakreslim tu další funkci
A teď uvidíme, jestli naše přesnější definice spojitosti bude vyhovovat, když se podíváme na všechny případy.
Nakreslím interval, takhle.
Je to tedy mezi touto a tamtou hodnotou x. Tohle je osa x, tohle je osa y.
Teď na tomto intervalu nakreslím funkci
vypadá asi takhle.
Řekneme, že funkce je spojitá ve vnitřním bodě.
Vnitřní bod je takový bod, který není na kraji mého intervalu.
Takže tohle je vnitřní bod pro můj interval.
Tohle by byl krajní bod, stejně jako tohle.
Říkáme, že je spojitá na vnitřním bodě.
Vnitřním pro můj interval
To znamená, že limita v bodě c
tohle je bod c
Můžeme říct, že je spojitá ve vnitřním bodě c, pokud limita naší funkce,
tohle je naše funkce,
pokud limita funkce pro x jdoucí k c
je rovna hodnotě naší funkce ve stejném bodě.
Dává to smysl?
Co tím říkáme? Hodnota funkce v tomto bodě, f(c)
a limita, když se k bodu blížíme, jsou stejné.
A to zní rozumně.
Zamysleme se, jestli by tyto dvě funkce nějak mohly projít touto podmínkou spojitosti.
Tady, tohle bude náš bod c.
f(c) bude tady.
Tohle je f(c).
Platí tady, že limita f(x), pro x jdoucí k c, je rovna f(c)?
Když se podíváme na limitu f(x), pro x jdoucí k c zprava
vypadá to jako f(c).
Teď ale vezmeme druhou stranu. Tohle se nerovná
limitě f(x) pro x jdoucí k c zleva. Když půjdeme zleva,
nedostaneme se k f(c)!
Proto tahle rovnost neplatí.
Aby byla limita rovna f(c), musí být f(c) rovny
obě jednostranné limity. A to zde neplatí.
Tohle tedy neprojde naší formální definicí.
A to je dobře, protože už od pohledu vidíme, že tahle není spojitá.
A co tahle druhá?
Vrátím ji do původního stavu, tady má být díra
Vidíme, že limita - tohle je naše c - limita
f(x) pro x jdoucí k c
bude rovna L.
Takových limit jsme viděli hodně.
Tohle bude L
a je celkem jasné od pohledu, že L se nerovná f(c).
Tohle tady
je f(c).
Opět, tohle neprojde naší definicí.
Limita f(x) pro x jdoucí k c, což je tady,
se nerovná f(c). Proto to neprojde.
Kterýkoli z vnitřních bodů tady by prošel.
Limita, pro x jdoucí k této hodnotě, je rovna hodnotě funkce pro tento bod.
Takže to vypadá dobře pro všechny tyhle body.
Teď vymysleme definici když mluvíme o krajních bodech.
Tohle je spojitost pro vnitřní bod
a teď se podívejme na spojitost - napíšu to tady - spojitost v krajním bodě c.
Nejdřív vezměme v úvahu levý krajní bod.
Pokud levý krajní bod - o čem to mluvím?
Nakreslím si graf. Osy x, y.
Teď nakreslím interval.
Tohle je levý krajní bod mého intervalu. Tohle bude pravý krajní bod.
Nakreslím funkci na tomto intervalu.
Ta bude vypadat asi takhle.
Mluvíme o levém krajním bodě, tedy mluvíme o bodě c, který je tady.
Je to levý krajní bod.
Takže pokud mluvíme o levém krajním bodě, spojitost na c
to znamená, nebo abychom řekli, že jsme spojití v levém bodě c,
to znamená, že limita f(x) pro x jdoucí k c -
my se vlastně ani nemůžeme blížit k c z levé strany, musíme jít zprava -
limita je rovna f(c)
Tady se můžeme blížit jen z jedné strany,
takže nemůžeme říct, že limita obecně, ale můžeme uvažovat jednostrannou limitu.
Je to tedy velice podobné s tím, co jsme řekli pro vnitřní bod.
A tady vidíme, opravdu je to tento případ, jak x jde k c,
naše funkce se blíží tomuto bodu, což je
to samé, jako f(c).
V tomto bodě je funkce spojitá.
Jak by vypadal případ, kdy bychom nebyli spojití v krajním bodě?
Třeba funkce, jejíž graf by vypada nějak takto.
Tady je náš interval.
A tady naše funkce. c bude tohle. Tady je díra.
Funkce tu má odstranitelnou nespojitost. Nebo to tak alespoň vypadá.
A vidíte, že tohle by neprošlo testem, protože limita,
když jdeme k c zprava,
je tady, to je ta limita.
Hodnota funkce f(c) je tady.
f(c) se nerovná naší limitě, kdy x jde k c zprava.
Tohle tedy nebude spojité.
Asi si dovedete představit, jak by to vypadalo pro pravý krajní bod.
Řekneme, že jsme spojití v pravém krajním bodě c, pokud -
nakreslím to tady
Tohle je osa x, y
Nakreslím si interval.
Řekněme, že to bude vypadat nějak takhle.
Pravý krajní bod znamená, že c je tady.
A můžeme říct, že jsme spojití
pro x=c, to znamená že limita f(x)
pro x jdoucí k c - opět nemůžeme jít z obou stran,
můžeme jen zleva.
Pro x jdoucí k c zleva.
Můžeme říct, že pokud je tohle pravda, znamená to,
že jsme spojití v pravém koncovém bodě c
a naopak.
Možnost, kdy funkce není spojitá?
Můžeme si představit, že tohle je definováno přímo na tamtom bodě
řekneme, že funkce skočí nahoru,
stejně jako jsme to udělali tady.
Takže opět, spojitost není tak těžká na pochopení
Kdykoliv vidíte, že funkce najednou skáče
nebo je v ní nějaká díra,
nejspíš nebude spojitá.
V tomto videu jsme využili limit
k přesnější definici spojitosti.