Tip:
Highlight text to annotate it
X
V tomto videu chci přijít
na vztah
mezi obsahem trojúhelníku
a kružnicí, jež ho opisuje,
tedy kružnicí jemu opsanou.
Před tím, než se zamyslíme *** kružnicí opsanou,
pojďme se zamyslet *** obsahem trojúhelníku.
Řekněme, že ten trojúhelník vypadá nějak takto.
Vlastně nechci, aby vypadal jako rovnoramenný trojúhelník.
Nakreslím ho tak,
aby nevypadal jako nijaký konkrétní typ trojúhelníku,
a pojmenuji ho ABC.
Tohle jsou vrcholy
a strana naproti vrcholu A je a,
a pak jsou tady strany b a c.
Víme, jak spočítat obsah tohoto trojúhelníku,
když známe jeho výšku.
Když tady spustíme výšku
o délce h,
tak víme, že obsah trojúhelníku [ABC]
- a napíšeme ABC v hranatých závorkách,
protože to znamená obsah trojúhelníku ABC -
se rovná jedna polovina krát základna, což je b,
krát výška.
Docela jasné.
Máme výraz pro obsah.
Pojďme se podívat,
jestli bychom mohli nějak spojit věci související s obsahem
a poloměr kružnice opsané trojúhelníku.
Takže kružnice opsaná je kružnice,
která prochází všemi vrcholy trojúhelníku,
a každý trojúhelník má kružnici opsanou.
Pokusím se to nakreslit.
To je ta složitá část.
Takže mohlo by to vypadat nějak takhle.
To by celkem šlo. Docela se to podobá kružnici.
Myslím, že máte alespoň obecnou představu.
Tohle je kružnice opsaná tomuto trojúhelníku.
()
Pojmenuji to.
Tohle je kružnice opsaná tomuto trojúhelníku.
Nyní se pojďme zamyslet *** středem kružnice opsané.
()
Vypadá to, že bude ležet
- nevím, jen tak se snažím odhadnout -
na tomto písmenku b.
Takže to je střed kružnice opsané.
Nakreslíme průměr kružnice
a povedeme ho z bodu B
skrz střed kružnice.
Z bodu B půjdeme sem a pak budeme pokračovat až sem.
Tomuto bodu budeme říkat bod D.
Nyní pojďme sestrojit trojúhelník s vrcholy A, B a D.
Prostě sem přidáme další čáru
a máme trojúhelník ABD.
Právě jsme touto geometrickou hříčkou dokázali
- a vlastně to není úplně bláznivý důkaz -
že jakýkoliv trojúhelník vepsaný do kružnice,
kdy jedna strana trojúhelníku
je průměrem kružnice,
bude pravoúhlý trojúhelník,
a úhel, jehož velikost bude 90 stupňů,
leží naproti průměru.
Takže tady je pravý úhel.
Můžete si to odvodit, je to celkem jasné.
Máte tento oblouk, který má 180 stupňů
- protože tohle je zjevně průměr kružnice -
a leží pod tímto vepsaným úhlem.
Také jsme si dokázali, že vepsaný úhel,
který leží *** průměrem,
bude velký jako polovina délky onlouku.
Tento oblouk má 180 stupňů,
takže tenhle úhel bude 90 stupňů.
Každopádně tenhle úhel bude mít 90 stupňů.
Dále vidíme,
že tady máme tento oblouk,
ten, který kreslím světle fialovou,
ten, který jde z bodu A do bodu B.
Ten oblouk leží v našem náčrtku pod dvěma různými úhly
- leží pod tímhle úhlem, úhlem ACB,
ale také leží pod úhlem ADB,
()
proto jsme ho sestrojili takhle.
Takže leží také pod tímhle,
tudíž tyhle dva úhly budou shodné.
Oba dva budou mít velikost poloviny
úhlu tohoto oblouku,
protože jsou oba dva vepsané úhly,
které leží *** stejným obloukem.
A objevilo se nám tady něco zajímavého.
Máme dva trojúhleníky,
trojúhelník ABD a trojúhelník BEC,
které mají dva úhly, které se podobají...
Mají pravý úhel a tento světle fialový úhel
a jejich třetí úhel musí být stejný.
Nakreslím ho žlutě.
Tento třetí úhel musí být shodný s tímto úhlem.
Mají tři shodné úhly,
takže to musí být podobné trojúhelníky
neboli poměr odpovídajících stran
musí být stejný,
Tuto informaci teď můžeme použít,
abychom nalezli vztah mezi touto stranou,
která je vlastně průměrem kružnice, takže má délku 2 krát poloměr,
a výšky tohoto menšího trojúhelníku.
Známe vztah
mezi výškou menšího trojúhelníku
a jeho obsahem,
takže jsme v podstatě v cílové rovince.
Pojďme na to.
Takže tyto dva trojúhelníky jsou podobné.
Známe poměr strany c a průměru.
Jak dlouhý je průměr kružnice?
Délka průměru kružnice je 2 krát poloměr.
Tohle je poloměr.
Víme, že poměr c ku 2 krát poloměr
bude úplně stejný jako poměr strany h
- a chceme se ujistit, že používáme stejnou stranou -
a přepony tohoto trojúhelníku,
takže bude stejný jako poměr strany h a a.
A přišli jsme na to tak,
že jsme se podívali na odpovídající strany.
Strana c a přepona jsou obě
přilehlé k tomuto úhlu.
Takže máte h a a.
c ku 2 krát poloměr je to samé jako h a a.
Nebo bychom mohli udělat spoustu dalších věcí.
1) mohli bychom za h dosadit
výraz s obsahem.
Vlastně to pojďmě udělat.
Když použijeme původní výraz pro obsah,
tak můžeme obě strany vynásobit dvěma.
A obě je vydělit b.
Tohle se vykrátí s tímhle.
Dostaneme, že h se rovná (3 krát obsah)/b.
Můžeme tento vztah přepsat jako c/2 krát poloměr se rovná h,
což je 2 krát obsah našeho trojúhelníku/b
a to všechno bude lomeno a.
Nebo bychom mohli tuto druhou část přepsat
jako 2 krát obsah lomeno...
- dělíme stranou b, a pak stranou a,
což je to samé, jako bychom dělili ab.
Tohle můžeme ignorovat.
Takže máme c/2 krát poloměr se rovná (2 krát obsah)/ab.
A teď můžeme dělit křížem.
ab krát c se bude rovnat 2 krát poloměr krát 2abc,
takže to bude 4 krát poloměr krát obsah našeho trojúhelníku.
Prostě vynásobím křížem tohle a tohle
a vyjde nám, že se to rovná tohle krát tohle.
Víme, že násobení křížem je
jen násobení obou stran rovnice 2 krát poloměrem
a násobení obou stran rovnice ab.
Udělali jsme to jak na levé straně,
tak na pravé straně.
2 krát poloměr a ab se zjevně vykrátí s tímto,
tohle se vykrátí s tímhle
a dostaneme, že abc se rovná 2 krát poloměr krát 2abc
nebo 4 krát poloměr krát obsah našeho trojúhelníku.
A nyní jsme v cílové rovince.
Obě strany vydělíme 4 krát obsahem
a máme hotovo.
Tohle se vykrátí s tímhle, toto se vykrátí s tímto
a máme náš vztah.
Poloměr, nebo mu prostě můžeme říkat poloměr opsané kružnice
- poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku -
se rovná násobku stran toho trohúhelníku
děleno 4 krát obsah trojúhelníku.
To je docela úhledný výsledek.