Tip:
Highlight text to annotate it
X
...
Vítejte na přednášce o derivacích
Myslím, že poznáte, že toto je téma,
kde matematika začíná být mnohem zábavnější než tomu bylo o pár témat dříve.
Začněme s derivacemi.
Vím, že to zní velmi složitě.
Jestliže máme rovnou čáru
--uvidíme jestli dokážu správně nakreslit rovnou čáru-- Jestliže máme rovnou čáru,
--toto jsou moje osy soustavy souřadnic, které nejsou rovné--
Toto je rovná čára.
...
Jestliže máme takovouto rovnou čáru
a máme říct, jaký je její sklon --myslím že už víte jak to udělat--
Je to změna 'y' děleno změnou 'x'.
Jestliže chceme najít sklon,
sklon je všude stejný, protože to je rovná čára,
ale když chci najít sklon v libovolném bodě této čáry,
vyberu si bod 'x'
Řekněme že si vyberu tento bod,
vezmeme si jinou barvu-- Vybereme si tento bod,
vybereme si tento bod Je to jedno, mohli bychom si vybrat jekékoliv dva body,
a mohli bychom zjisti, jaká je změna 'y'.
Toto je změna 'y', neboli delta 'y'
a toto je změna 'x'.
Delta x.
A víme, že sklon je definován
jako změna 'y' děleno změna 'x'.
...
jinak to můžeme napsat jako delta --trojúhelník--
delta 'y' děleno delta 'x'.
To je očividné.
Co by se stalo, kdybychom se nezabývali
rovnou čarou?
Podívejme se, jestl mám ještě místo, abych to sem nakreslil.
Jiný suořadnicový systém.
Trochu chaotické, ale myslím, že to pochopíte.
...
Místo normální čáry, jako byla tato,
která se dala vyjádřit jako y=a*x + b
Řekněme, že máme křivku y rovná se x na druhou.
Nakreslím to jinou barvou.
Takže y rovná se x na druhou vypadá nějak takto.
Je to parabola, už jste se s ní pravděpodobně mnohokrát setkali.
Nyní se ptáme,
jaký je sklon této křívky?
Přemýšlejte o tom.
Co znamená hledat sklon této křivky?
U této čáry byl sklon stejný
ve všech bodech čáry.
Ale když se podíváme na tuto křivku,
sklon se mění, že?
Zde je křivka téměř rovná a je stále strmější, strmější, strmější,
strmější, strmější, už je hodně strmá.
A kdybychom zašli opravdu daleko, byla by extrémně strmá.
nejspíše si říkáte, jak můžeme najít sklon křivky,
u které se sklon stále mění?
Nemůžeme mluvit o sklonu celé křivky.
U rovné čáry je jeden sklon pro celou čáru,
protože se sklon nikdy nemění.
Ale co kdybychom se snažili zjistit
jaký je sklon v daném bodě.
A sklon v daném bodě by byl stejný jako
sklon tečny ke křivce v daném bodě.
Na příklad --vezmu si zelenou-- Sklon v tomto bodě
by byl stejný jako sklon této čáry.
Ano?
protože tato čára je tečnou v tomto bodě.
Takže se to jen dotýká této paraboly a v tomto bodě má,
tato modrá parabola y rovná se x na druhou,
má stejný sklon jako tato zelená čára.
Ale kdybychom šli do tohoto bodu,
přestože tento graf je nakreslen hodně špatně,
sklon by zde byl asi takovýto.
Sklon tečny.
Sklon by byl zá***ý a zde je sklon kladný,
a kdybychom vybrali tento bod,
sklon by byl ještě větší.
Jak toto vypočítáme?
jak vypočítáme, jaký je sklon v libovolném bodě
křivky y se rovná x na druhou?
Zde využijeme derivaci
a nyní poprvé uvidíme,
k čemu je limita opravdu užitečná.
Pokusím se překreslit tuto křivku.
Nakreslím si osy, toto je osa y, budu to dělat jen v prvním kvadrantu,
a toto je --opravdu si musím najít lepší nástroj pro kreslení--
toto je osa x
a nyní nakreslím křivku žlutě.
...
y rovná se x na druhou vypadá nějak takto.
Opravdu se soustředím, abych to nakreslil
relativně dobře.
OK.
Řekněme, že chceme najít sklon v tomto bodě.
...
Označme tento bod a.
v tomto bodě x rovná se a.
A toto je funkční hodnota a.
...
Nyní bychom mohli zkusit najít
sklon sečny.
Čára mezi - zvolíme si jiný bod,
někde blízko tohoto budu na grafu... řekněme zde
A když vypočítáme sklon této čáry,
bude se to blížit sklonu této křivky
přesně v tomto bodě.
S\nakreslím sečnu.
...
Nějak takt.
Sečna vypadá zhruba takto.
Označme tento bod 'a' plus 'h'
kde tato vzdálenost je 'h', toto je a plus 'h'
jsme zde ve vzdálenosti 'h' od 'a'
a tento bod je funkční hodnota ('a' plus 'h')
...
To pero je porouchané.
...
Toto je přibližně stejné jako
sklon v tomto bodě.
A čím blíž bude h, tím blíže je tento bod tomuto bodu,
a tím více se blížíme správnému výsledku.
Kdybychom mohli udělat sklon,
kde se h rovná nule, byl by to opravdu sklon,
skutečný sklon v tomto bodu paraboly.
Ale jak můžeme vypočítat sklon, když se h rovná nule?
...
Nyní říkáme, že sklon mezi těmito dvěma body
je roven změně 'y',
tedy jaká je změna 'y'?
Je to toto, tento bod je, jeho x-ová souřadnice je
--tato věc mě vytáčí--
x-ová souřadnice je 'a' plus 'h' a y-ová souřadnice je funkční hodnota ('a' plus 'h')
...
A tento bod - souřadnice jsou 'a' a funkční hodnota 'a'.
Když použijeme standartní vzoreček pro sklon, stejně jako předtím,
změna 'y' děleno změna 'x'.
Jaká je změna 'y'?
Je to funkční hodnotaa ('a' plus 'h'), tato y-ová souřadnice mínus tato y-ová souřadnice,
mínus funkční hodnota 'a', děleno změnou x.
Změna 'x' je tato x-ová souřadnice, ('a' plus 'h'), mínus
tato x-ová souřadnice, mínus a.
Samozřejmě se toto 'a' a toto 'a' vyruší, oudečtou se.
Takže to je funkční hodnota ('a' plus 'h') mínus funkční hodnota 'a', to celé děleno 'h'.
Toto je sklon sečny.
když chceme udělat tečnu křivky,
musíme přijít na to, co se děje, když bude h menší
a menší a menší.
Myslím, že víte, kam tím mířím.
když chceme najít sklon této tečny,
musíme najít limitu této hodnoty,
když se 'h' blíží nule.
Když se 'h' blíží nule,
sečna se stále přibližuje sklonem k tečně.
A tak budeme vědět, jaký je sklon
v libovolném bodě křivky.
Ukázalo se, že toto je
definice derivace
A derivace není nic jiného než sklon
křivky v zadaném bodě.
Toto je velice užitečné,
protože dosud jsme mluvili
jen o sklonu čáry.
Ale nyní si můžeme vzít libovolnou spojitou křivku,
nebo většinu spojitých křivek, a najít sklon této křivky
v zadaném bodě.
Nyní jsem vám řekl definici derivace,
a snad, v příští prezentaci,
použijeme tuto definici
a aplikujeme ji na nějaké funkce, například x na druhou,
a představíme si několik dalších příkladů.
Nashledanou v příští prezentaci.
...