Tip:
Highlight text to annotate it
X
V tomto videu prozkoumáme elektrické pole
V tomto videu prozkoumáme elektrické pole
tvořené nekonečně velkou stejnoměrně nabitou deskou.
A proč?
Zaprvé, protože zjistíme, že elektrické pole je
konstatní, což je fajn samo o sobě a pak
je důležité si to uvědomit až budeme mluvit
o rovnoběžných nabitých deskách a kondenzátorech,
protože učebnice říkají, že je jejich pole konstatní, ale
nikdy to nedokážou.
Takže si to dokážeme teď. Základem je
zjistit, jaký je náboj nekonečně
nabité desky.
Podívame se na tu desku z boku
a použijeme selský rozum.
Tohle je boční pohled na naši desku,
která má hustotu náboje sigma.
Co je hustota náboje?
To je prostě počet Coulombů v nějaké oblasi.
Hustota náboje se rovná náboji na jednotce plochy.
To je sigma.
Všude máme stejnou hustotu náboje.
Předtím než se pustíme do hardcore matematiky,
a pokud máte puštěný matematický seznam videjí,
možná by jste si měli zopakovat elektrostatiku z
fyzikálním seznamu videjí,
což by vám mělo připadat jednoduché.
Pokud tohle video sledujete ve fyzikálním seznamu videjí
a nejste zběhlí ve středoškolské matematice,
asi se vám zavaří hlava.
Takže jdeme na to.
Ještě jednou: tohle je nekonečná deska,
pokračuje všemi směry, i ven z videa
a díváme se na ni z boku.
Umístíme si sem bodový náboj Q.
Umístíme si sem bodový náboj Q.
Teď se na chvilku zamyslíme -
a vezmeme si plochu tady na desce.
Jaký asi bude celkové působení té plošky
na náš bodový náboj?
Zaprvé, bodový náboj je *** plochou
ve výšce "h".
Nakreslím to.
Tohle je výška h a tenhle bod
přímo pod bodovým nábojem
je ve vzdálenosti "r" od naší plošky.
Jaká je vzdálenost
mezi ploškou a bodovým nábojem?
Jaká je ta vzdálenost, kterou teď kreslím růžově?
Jakou má velikost?
Jakou má velikost?
Pythagorova věta.
Máme pravoúhlý trojúhelník, takže je to odmocnina z
téhle strany na druhou plus téhle strany nadruhou.
Takže odmocnina z
h na druhou + r na druhou.
Máme tedy vzdálenost mezi ploškou a testovacím nábojem.
Pokračujeme selským rozumem.
Pokud je ten bodový testovací náboj kladně nabitý a deska taky,
síla působící na náboj z téhle plošky bude
mířit ven, takže,
nakreslím to jinou barvou,
takže bude mířit tímto směrem, že?
ale protože je to ve všech směrech nekonečná deska,
bude na ní existovat další ploška,
která je na opačné straně od té první
a její celkové elektrostatické působení na náboj
bude v tomhle směru.
A protože máme rovnoměrně rozloženou hustotu náboje
a deska je ve všech směrech symetrická,
x-ové, horizontální části všech sil se navzájem vyruší.
A to platí pro všechny body podél desky.
Protože ať už si vyberete jakýkoliv bod,
I když se na to podíváme místo zboku zhora
a samozřejmě, deska pokračuje ve všech směrech do nekonečna
a tady je náš bodový náboj
*** deskou
a má y-ovou složku, která
v tomto horním pohledu jde k vám ven z videa
a x-ovou složku jejíž působení (deska/bod) se vyruší.
se vyruší.
Vžycky totiž můžete na desce najít další bod,
symetricky naproti původnímu, jehož x-ová složka síly
působení vyruší ten první.
Což vysvětluje proč celková síla
na náš bodový náboj bude mířit jenom nahoru.
Myslím, že je jasné,
že se všechny x-ové složky síly
vyruší, protože jsou na obě strany
testovacího náboje stejně nekonečné.
Tak, to bychom měli, a co dál?
Zaměříme se na y-ovou složku
elektrostatické síly.
Co je y-ová složka?
Takže tahle ploška,
zase změním barvy.
Tahle ploška, v bočním pohledu,
působí...intenzita jejího elektrického pole v daném místě je E1
a míří sem.
Jaká je její y-ová složka?
Jaká je v tomto směru?
A, samozřejmě, působí ven, protože
kladné.
Jaká je y-ová složka?
Tahle.
Kdybychom znali tenhle úhel théta.
y-ová složka by pak byla intenzita pole,
E1 krát kosinus théty.
Kosinus je přilehlá ku přeponě, takže
přepona krát cos(theta) se rovná přilehlá.
Pokud chceme spočítat y-ovou složku
elektrického pole, vynásobíme jeho velikost
a kosinus théty.
Jak zjistíme théta?
No, je stejná jako tahle théta,
základní trigonometrie.
A kosinus théty
je přilehlá ku přeponě,
z goniometrie, že?
Kosinus théty je přilehlá (a) ku přeponě (h).
Kosinus théty je přilehlá (a) ku přeponě (h).
A pro tenhle úhel, jako tenhle
je pak
tohle přilehlá a tohle přepona.
K čemu to je?
Y-ová složka elektrického pole
naší plošky, elektrické pole
y-ová složka, s indexem 1,
z naší plošky.
se rovná velikosti el. pole
naší plošky krát
kosinus théty, což je el.pole krát
přilehlá - výška ku přeponě -
odmocnina z (h na druhou + r na druhou).
Tak.
Jak zjistíme
velikost elektrického pole abychom ji
dosadili zpátky do rovnice?
A to nejën pro naši plošku,
ale i pro všechny body na kružnici
se stejným poloměrem.
Nakreslíme si to
z perspektivy.
Znovu si nakreslím desku,
zase žlutě
jako předtím.
Tohle je moje deska.
Nekonečná všemi směry.
Nekonečná všemi směry.
A tady *** ní je náboj,
ve výšce h.
A tenhle bod je někde tady.
Teď přes něj nakreslím
kružnici
s poloměrem r.
Je to kružnice, protože všechny
body na ní jsou stejně daleko od náboje.
Stejně jako naše ploška.
Je to vlastně průřez tím,
co teď kreslím.
Jaká je pak y-ová složka
síly působící z kružnice na náš náboj?
Na to potřebujeme zjistit její obvod,
vynásobit ji hustotou náboje a
pak z Coulombova zákona
zjistíme intenzitu pole v daném bodě
a z naší rovnice pak
získáme y-ovou složku.
Je to komplikované,
ale aspoň máme konstatní el. pole.
Jdeme na to.
Coulombův zákon...
nejdřív spočítáme náboj té kružnice.
Náboj kružnice, Qr.
Rovná se "ploše" kružnice krát hustota náboje.
Takže
obvod kružnice je 2 pí r.
Pokud bychom řešili prstenec, měl by šířku,
ale kružnice je nekonečně tenká.
Infinitesimálně tenká.
Má šířku dr. Náboj je
plocha krát
hustota náboje, takže sigma.
hustota náboje, takže sigma.
To máme náboj kružnice.
Ale jaké kružnice generuje elektrické pole
na náš bodový náboj?
Coulombův náboj nám říká,
že síla je rovna Coulombově konstantě krát náboj plochy
krát testovací náboj
děleno vzdálenost na druhou.
A jaká je vzdálenost
jakéhokoliv bodu na kružnici a náboje?
Tohohle bodu..
nebo tohohle..
tady na průřezu.
Jejich vzdálenost je znovu daná
Pythagorovou větou, protože
tohle je taky r.
Vzdálenost je rovna odmocnině z
h na druhou + r na druhou.
Stejně jako předtím.
Vzdálenost na druhou, což se rovná
k krát náboj kružnice krát testovací náboj
děleno vzdálenost na druhou.
Což je odmocnina z h^2 + r^2,
když to umocníme dostaneme jenom
h na druhou + r na druhou.
Elektrická intenzita kružnice je pak jenom
síla ku testovacímu náboji,
tudíž pokud podělíme obě strany Qr
zjistíme, že el. intenzita pole se rovná
Coulombově konstantě krát náboj kružnice
děleno h na druhou + r na druhou.
Jaká pak bude
y-ová složka intenzity pole kružnice?
Prostě tohle, ne?
Zrovna jsme spočetli velikost tohohle vektoru,
že?
Ale chceme jenom jeho y-ovou složku,
protože x-ové se navzájem vyruší,
takže to bude krát cos(théta), což je
vlastně tohle, takže to tím vynásobíme.
Y-ová složka elektrické intenzity pole kružnice je pak
její velikost krát kosinus thety, což je
h lomeno odmocnina z
h na druhou + r na druhou.
Můžeme to trochu zjednodušit.
Jmenovatel je pak
(h na druhou + r na druhou) na tři poloviny.
A v čitateli máme
kh a náboj kružnice, což jsme
vyřešili tady.
2 pí sigma r, nezapomeňme na dr.
Takže teď máme y-ovou, vertikální, složku
intenzity el. pole
ve výšce h *** deskou.
Ale pozor, je týká se to jenom pole
generovaného kružnicí
o poloměru r.
A porotože jsme ve dvanácté minutě
a všichni toho máme dost,
budeme pokračovat příště.
Ale víte, co uděláme, že?
Teď známe pole
generované kružnicí,
tak to zintegrujeme přes celou plochu.
tak to zintegrujeme přes celou plochu.
Tím pokryjeme
rozsah poloměrů od nuly po nekonečno.
čímž získáme intenzity elektrického pole
a celkové pole desky ve výšce h.
Naviděnou v dalším videu.
Naviděnou v dalším videu.