Tip:
Highlight text to annotate it
X
Komplexní čísla
Jsem Adrien Douady.
Mé celoživotní matematické dílo bylo zaměřené na
komplexní čísla.
Mé příspěvky pomohly rozvinout jak algebraickou geometrii,
tak teorii dynamických systémů.
Komplexní čísla mají dlouhou historii.
Tady nalevo vidíte Tartagliu a Cardana,
pionýry matematiky z doby renesance.
Napravo jsou Cauchy a Gauss,
kteří teorii během devatenáctého století postavili na pevné základy.
Komplexní čísla nejsou skutečně tak složitá,
jak by se mohlo zdát z jejich jména!
Nejpve byli označovány pojmem „nemožná čísla“,
i dnes se jim občas říká „imaginární“.
Jistě, je pravda, že vyžadují trošku imaginace…
Přesto jsou dnes zapotřebí ve všech oborech vědy
a již dávno nejsou záhadná.
Díky nim lze, například, vytvářet
překrásné fraktálové množiny,
na čemž jsem hodně pracoval.
Dokonce jsem vytvářel film „The dynamics of the rabbit“,
což byl jeden z prvních animovaných matematických filmů.
Začněme s vysvětlováním komplexních čísel na této tabuli.
Matematikové prostě milují psaní křídou…
Za chvíli uvidíte, že mé pravítko, trojúhelník a úhloměr
se občas chovají řekněme zvláštně…
Nakresleme na tabuli odstupňovanou přímku.
Jedna z nejkrásnějších matematických myšlenek
je spojení geometrie s algebrou.
Toto je základní kámen algebraické geometrie.
Stejně jako umíme sčítat čísla, umíme sčítat body.
Tady je červený bod na přímce, tady modrý.
Sečtěme je.
Získali jsme zelený bod! Jedna plus dva se rovná třem!
Když červeným a modrým bodem hýbeme,
zelený bod, který je jejich součtem, se musí hýbat také.
Zajímavější je násobení bodů.
Podívejme se například na násobení bodem -2.
Zobrazí bod 1 do bodu -2, samozřejmě.
Uděláme-li to znovu,
budeme pracovat stejně jako minule:
zaměníme strany vzhledem k počátku
a zdvojnásobíme vzdálenost od počátku.
Dostaneme samozřejmě čtyři.
Takže násobíme-li dvakrát -2,
je to jako bychom vynásobili 4.
Násobení -1 je strašně snadné:
Každý bod je zobrazen do symetrického bodu
podle počátku.
Jinými slovy ho otočíme o polovinu,
o 180 stupňů, chcete-li.
Když znásobíme číslo samo sebou,
vyjde nám vždy kladné číslo.
Třeba když násobíme -1,
učiníme polootočku,
takže když to uděláme znovu,
vrátíme se zpět.
Proto se -1 krát -1 rovná +1.
Docela jednoduché.
Vidíte kupříkladu, že násobení -1
pošle 2 do -2
a násobíte-li znovu -1,
vrátíte se do 2.
Zřejmé, pravda?
Tudíž neexistuje číslo,
které by znásobeno samo sebou vrátilo -1.
Jinými slovy: -1 nemá odmocninu.
Teď jsme ovšem podcenili
tvořivost matematiků!
Na začátku devatenáctého století dostal Robert Argand skvělý nápad.
Zeptal se sám sebe: „Když násobení mínus jedničkou
je otočení o 180 stupňů,
odmocnina z mínus jedné bude otočení o polovinu 180 stupňů — 90 stupňů.
Když udělám dvě čtvrtotočky za sebou,
skončím otočený o polovinu!
Mocnina čtvrtotočky je půlotočka, tedy mínus jedna.“
Zní to jednoduše, když už to víte!
Argand tedy usoudil, že odmocnina -1
je reprezentována bodem, který je obrazem jedné otočené o 90 stupňů.
To nás samozřejmě donutí opustit vodorovnou přímku,
tudíž jsme se právě dohodli, jako přiřazovat čísla
bodům roviny, které nejsou na přímce!
Jakkoliv je tato konstrukce trošku podivná,
můžeme říct, že odmocnina z -1 je imaginární číslo,
které budeme značit písmenem i.
Jakmile jsme měli dost odvahy opustit přímku,
je vše snadné.
Můžeme reprezentovat 2i, 3i a tak dále…
Každý bod v rovině zastupuje komplexní číslo
a naopak, každé komplexní číslo definuje bod v rovině.
Body v rovině se staly právoplatnými čísly!
Můžeme je sčítat, stejně jako normální čísla.
Podívejte se na červený bod, což je bod 1+2i.
Přičteme k němu 3+i, to je modrý bod.
Můžete sčítat
stejně jako ve základní škole
a vyjde nám 4+3i.
Z geometrického úhlu pohledu jsme prostě sečetli vektory.
Jak vidíte, sčítání nečiní žádný problém.
Mnohem zajímavější je,
že komplexní čísla lze, stejně jako reálná čísla,
také násobit.
Pojďme se na to podívat.
Už víme, jak vynásobit komplexní číslo například dvěma.
Dvakrát 1+i dává
2+2i.
I z geometrického hlediska je násobení dvěma snadné:
je to prostě dvojnásobné zvětšení.
Když vynásobíme červený bod, dostaneme zelený bod!
Násobení číslem i také není složité,
protože víme, že odpovídá otočení o čtvrtinu.
Abychom vynásobili 3+i krát i,
prostě otočíme o čtvrtinu
a dostaneme -1+3i.
Nejsou moc složitá, tahle komplexní čísla!
Vždyť nakonec — násobení jakýchkoliv dvou komplexních čísel
nečiní žádný problém.
Zkusme například vynásobit 2+1,5i a -1+2,4i.
Budeme postupovat jako obvykle,
nejdříve vynásobíme dvěma a pak 1,5i, potom sečteme výsledky.
Takže dostaneme:
„Dvakrát…“
Takže:
-2 + 4,8i - 1,5i + 3.6i krát i
Nyní si vzpomeneme, že i krát i je -1,
vždyť jsme si ho takto vymysleli!
Tak získáme:
-2 -3,6 … atd.
Trošku to uklidíme. Víme, že
-2 - 3,6 + 4,8i - 1,5i,
takže
-5,6 + 3,3i.
Tady to je, umíme
násobit komplexní čísla.
Jinými slovy, umíme násobit body na ploše!
To je úžasné!
Mysleli jsme, že plocha je dvojrozměrná,
protože potřebujeme dvě čísla
k určení bodu,
ale nyní vidíme, že stačí jedno!
Samozřejmě, změnili jsme čísla,
a nyní máme co do činění s čísly komplexními.
Je asi pravý čas zadefinovat dva nové pojmy:
absolutní hodnota a argument komplexního čísla.
Absolutní hodnota komplexního čísla z
je prostě jeho vzdálenost bodu reprezentujícího z od počátku souřadnic.
Užijme pravítko k určení absolutní hodnoty červeného bodu,
který je 2+1,5i.
Jak vidíme, naměřili jsme 2,5.
Absolutní hodnota čísla 2+1,5i je tedy 2,5.
Pro modré body vychází 2,6.
A pro zelené body,
které jsou součinem dvou bodů
vyjde 6,5.
Tedy pravidlo: absolutní hodnota součinu dvou komplexních čísel
je prostě součin absolutních hodnot těchto dvou čísel.
Argument komplexního čísla
je úhel, který svírá kladná reálná poloosa
a přímka spojující počátek s bodem.
Zde je kupříkladu argument červeného komplexního čísla
36,8 stupňů.
Argument modrého bodu je 112,6 stupňů.
A jejich součin, zelený bod, má argument 149,4 stupňů,
což je součet argumentů obou činitelů…
Když násobíme dvě komplexní čísla,
absolutní hodnoty se násobí a argumenty sčítají.
Zakončeme nyní naše první setkání s komplexními čísly
se stereografickou projekcí.
Uvažujme kouli dotýkající se plochy v počátku.
Užijeme-li stereografickou projekci
uvidíme, že každý bod na ploše,
tedy každé komplexní číslo,
odpovídá bodu na sféře.
Pouze její severní pól
Tedy pól, ze kterého promítáme,
nemá přiřazené žádné komplexní číslo.
Říkáme, že odpovídá nekonečnu.
Matematikové říkají, že sféra
je komplexní promítací přímka.
Proč přímka?
Protože potřebujeme pouze jedno číslo, abychom popsali její body!
Proč komplexní?
Protože toto číslo je komplexní.
Proč projektivní?
Protože jsme přidali bod do nekonečna, za užití projekce.
Nejsou matematikové divní,
když se nám snaží namluvit, že je sféra vlastně přímka?