Tip:
Highlight text to annotate it
X
Struny (pokračování)
Vraťme se k dvojrozměrným sférám a rovnoběžkám.
Za každým bodem kulové plochy
si můžeme představit Hopfovu kružnici.
Podívejme se, co najdeme za rovnoběžkami na S2,
třeba za rovníkem.
Tady je další rovnoběžka,
pohybuje se na jih.
Jaktože se torus ztenčuje?
Protože *** jižním póle je
samozřejmě pouze jedna kružnice
a *** pólem severním vidíme pouze přímku,
která je vlastně kružnice procházející nekonečnem.
Nuže, pojďme trošku otáčet.
Skutečně otáčet,
ve čtyřrozměrném prostoru, samozřejmě.
Abych byl upřímný, musím vám prozradit, že některé z těchto obrázků
byly známy dlouho přede mnou.
Objev existence čtyř rodin kružnic na tóru
je obvykle přisuzován Marquiovi de Villarceau,
ale jsou k nalezení i ranější náznaky,
ve skulptuře ve Štrasburské katedrále, například.
Vezměme rotační torus,
což je povrch popsaný kružnicí
rotující okolo osy ve své rovině.
Prohlédneme si řez tóru rovinou.
Jak ji zvolíme?
Můžeme říct, že je dvojtečnou rovinou k tóru,
jednoduše proto, že je tečnou ve dvou bodech.
Nyní se pozorně dívejte:
rovina řízne tórus ve dvou dokonalých kružnicích.
Toto tvrdí Villarcauova věta:
řez rovinou, která je k tóru dvojtečná, jej rozřízne ve dvou kružnicích.
Samozřejmě není pouze jedna dvojtečná rovina.
Tady je další, jak řeže torus podél dvou dalších Villarceauových kružnic.
Můžeme to udělat pro všechny další dvojtečné roviny:
stačí prostě rotovat okolo osy symetrie.
Jak vidíte, každým bodem na rotačním tóru
můžeme vést čtyři kružnice,
které získáme vhodnými řezy.
Jedna z těchto kružnic je rovnoběžka,
další poledník,
pak první Villarceauovská kružnice
a nakonec druhá taková.
A jelikož to můžeme udělat pro každý bod na toru,
vidíme, že je torus pokryt čtyřmi rodinami kružnic.
Dvě kružnice z jedné rodiny se nikdy nekříží.
Modrá kružnice kříží červenou v jediném bodě.
Žlutá s bílou ve dvou,
to jsou Villarceauovské kružnice.
Prohlédněte si žluté kružnice pozorně:
jsou to Hopfovy kružnice!
Pamatujete si, jak jsme uvažovali,
co je za rovnoběžkou ve fibraci?
Viděli jsme torus pokrytý kružnicemi,
stejně jako teď vidíme torus pokrytý žlutými kružnicemi.
A co jsou ty bílé kružnice?
Nuže, ty patří k jiné,
zrcadleně otočené Hopfově fibraci!
Na závěr naší procházky
vezměme torus
s jeho čtyřmi rodinami kružnic,
představme si ho v třírozměrné nadsféře,
otáčejme s ním
a promítněme ho stereograficky
do třírozměrného prostoru!
Tímto způsobem získám povrchy,
které jsou také pokryty čtyřmi rodinami kružnic:
takzvanými Dupinovými cyklidami.
Občas, když torus prochází projekčním pólem,
se povrch roztáhne do nekonečna…
V takové chvíli se dvě stěny mohou prohodit.
Vnitřní stěna toru je růžová a vnější zelená.
Jednoduché otočení ve čtvrtém rozměru a… bingo!
Zelená se změní v růžovou a růžová v zelenou.
Není to úžasné?