Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
Máme před sebou problém číslo 48.
Ten říká, že pokud k x na druhou přičteme x, dostaneme 42.
Takže si to napišme.
Když k x na druhou přidáme x, dostaneme 42.
Čemu z toho, co následuje, by se x mohlo rovnat?
Takže se po nás vlastně chce, abychom vyřešili tuto rovnici.
Nejjednodušším způsobem, jak toho dosáhnout, je napsat ji jako kvadratickou rovnici,
položit ji rovnu nule a pak ji rozložit na součin dvou závorek.
Takže si můžeme napsal x na druhou plus x mínus 42
se rovná nule.
A uvažujeme.
Která dvě čísla, když je sečteme, dají jedničku, a když
je vynásobíme, dají mínus 42?
No a skutečnost, že když je vynásobíme dostaneme, mínus 42
nám říká, že jedno musí být kladné číslo a druhé
musí být zá***é.
To je jediný způsob, jak vynásobením dvou čísel
dostaneme zá***é číslo.
Takže jedno z nich musí být kladné a druhé musí být
zá***é.
A když sčítáme kladné a zá***é číslo,
vlastně zjišťujeme rozdíl mezi nimi.
Takže rozdíl mezi dvěma čísly musí být roven 1 a
jejich součin musí být 42.
Všiml jsem si, že když vidím 42, tak hned
myslím na čísla 6 a 7.
6 krát 7 je 42.
A protože když je sečteme, musíme dostat kladnou jedničku, sedmička
bude asi ta kladná, zatímco šestka
ta zá***á.
Tak si to zkusme.
(x plus 7) krát (x mínus 6) se rovná 0.
A opravdu, 7 krát mínus 6 je mínus 42.
A skutečně 7x plus -6x se rovná kladnému x.
Nebo si můžeme myslet 7 plus -6 se rovná
koeficientu u x, který je roven 1.
Ale každopádně to funguje.
A můžete si to roznásobit a vyzkoušet.
A všechno, co říkám, je, že to není žádné voodoo.
A důvod, proč říkám, že v součtu musí dát 1, je
protože, když si to roznásobíte, to je to, co
tvoří tento člen.
To 7 krát x plus -6 krát další x.
To je to, co tvoří tento člen, když to roznásobíte.
Tento člen vzniká z x krát x.
-42 pramení ze součinu 7 a -6.
Každopádně teď jsme u tohoto bodu.
Řekneme si OK, jak to dostaneme -- máme dvě závorky,
když je násobíme, mají se rovnat 0.
To znamená, že jedno z nich nebo obě jsou
rovny 0.
To znamená, že se buď x plus 7 rovná 0, což znamená, že odečteme 7
od obou stran.
Což znamená, že x se rovná mínus 7.
Nebo x mínus 6 se rovná 0.
Přidáme 6 na obě strany, x se rovná 6. x bude tudíž
6 nebo mínus 7.
A mají jednu z těch možností v odpovědích,
je to možnost A.
Další příklad.
49.
Jaká hodnota musí být přidána na obě strany rovnice,
aby doplnila čtverec?
Takže když doplníte čtverec, chcete, aby to
vypadalo jako---chcete cokoliv na levé straně
aby to byl perfektní čtverec.
A co myslím perfektním čtvercem?
Takže kdybych měl x plus a na druhou, to se rovná x plus a
krát x plus a.
A to je x krát x, x na druhou.
x krát a, takže to je plus ax.
A tohle a krát x.
Takže další ax.
Plus a krát tohle a.
Takže a na druhou.
A to se rovná x na druhou.
plus--máme tohle dvakrát--plus 2ax plus a na druhou.
Takže jednoduše chceme, aby levá strana
měla tuhle formu.
Takže řekneme, že to je perfektní čtverec.
Můžeme říct, že to je to samé jako x plus a na druhou.
Takže, jak to můžeme udělat.
Když máme x na druhou mínus 8x se rovná 5 a dáme
místo tady, protože chceme něco přičíst nebo
odečíst, abychom dostali perfektní čtverec.
Tak se *** tím zamyslete.
Když máme tenhle formát, abychom dostali
perfektní čtverec, jakýkoliv je ten koeficient tady,
tenhle výraz musí být polovina tohohle, na druhou.
čtverec je polovina 2a na druhou.
Takže jestli vezmeme polovinu mínus 8, to je mínus 4.
V tomto případě, jestliže bychom řekli 2a se rovná 8, a
by bylo mínus 4.
A tak mínus 4 na druhou je co?
To je plus 16.
A tohle je rovnice.
To, co uděláte na jedné straně rovnice, musíte udělat
na druhé straně také.
Takže musíte říct, že se to taky rovná.
Takže musíte přidat 16 na obě strany.
Jinak měníte rovnici.
Teď tohle, doufám, že poznáte, že tohle
už je perfektní čtverec.
Myslím tím, že se můžete podívat na tenhle vzor a
říct, OK, když přidám mínus 4 k sobě dvakrát dostanu mínus 8.
Když to sebou vynásobím dostanu 16.
Takže tohle je x mínus 4 na druhou.
To se rovná 25.
A vlastně, jestli vás to zajímá---tohle jsme dělali
v Khanově škole, udělali jsme několik videí na tohle--
to je jak dokážete, že jde o kvadratickou rovnici.
Jen musíte doplnit na čtverec s určitými čísly
a,b a c, a dostanete kvadratickou rovnici.
Víte, ukážeme to za 10 minut, takže to není
zas tak složitá věc na pochopení.
Jen chtějí vědět, co přidáte na obě strany
rovnice?
Jaká hodnota musí být přidána na obě strany, aby
doplnila čtverec?
Takže odpověď na tohle bylo 16.
Ale taky třeba mohli říct, vyřešte to
doplněním na čtverec.
A řekli byste, jasně, , x mínus 4 na druhou se rovná 25.
Takže x mínus 4 se rovná plus/mínus 5.
A pak můžete říct, x se rovná plus nebo
mínus 5 plus 4.
A pak můžete říct, OK, což je 4 plus
kladná 5 je 9.
4 plus mínus je--nebo mínus 1.
Nicméně, na to se nás neptají, takže *** tím
nemusíme trávit tolik času.
.
Podívejme se, jsme na příkladu 50.
Tak se na to podívejme, příklad 50.
Zkopíruji a vložím 50 a 51.
Dobrá, jaká jsou řešení pro kvadratické
rovnice x na druhou plus 6x se rovná 16?
A svádí to k tomu, abychom se to snažili vyřešit
tak, jako děláme lineární rovnice.
Nevím, vytknout x a ---nevím, udělat
cokoliv dalšího.
Důležitá věc je ale uvědomit si, že to je
kvadratická rovnice.
A nejjednodušší cesta, jak ji vyřešit, je dát všechny členy na
jednu stranu a dostat 0 na druhé.
A pak to buď nějak vytknout, nebo to řešit jako
klasickou kvadratickou rovnici.
Nebo doplnit na čtverec, cokoliv potřebujete.
Tak pojďme odečíst 16 od obou stran.
A dostanete x na druhou plus 6x mínus 16 se rovná 0.
Jen jsem odečetl 16 od obou stran rovnice.
A předtím, než skočíme na kvadratickou rovnici,
podívejme se, jestli bychom to nějak odhadli.
Jaká dvě čísla, když je sečteme, se rovnají 6 --- a
chceme kadnou 6 --- a když je násobíme mínus 16?
A znovu, jelikož je to mínus 16, když násobíte dvě
čísla, dostanete zá***é číslo.
Musí mít rozdílné znaménko.
Jedno musí být kladné a druhé musí být zá***é.
A jejich rozdíl bude 6 protože jedno je kladné
a jedno je zá***é.
Tak mě *** tím nechte se zamyslet.
Kdybych měl mínus---no, 8 a 2 je 16.
a jsou od sebe 6.
Takže když udělám plus 8 mínus 2--správně.
Plus 8 mínus 2 je plus 6.
Takže x plus 8 krát x mínus 2.
A to jen chce hodně procvičování.
Říkáte, OK, jaká dvě čísla?
16.
OK.
8 a 2.
No, musí mít rozdílná znaménka.
Ale mám jedno kladné tady, takže to větší z nich
bude pravděpodobně kladné.
Takže kladná 8 a mínus 2.
Jo, když je sečtete, rovnají se mínus 6.
Jo, to jde.
Takže to dáte, aby se to rovnalo 0.
A řeknete OK, to se musí rovnat 0, neboli to musí být
rovno nule.
Takže x je buď mínus 8.
Když řeknete x plus 8 se rovná 0 a odečtete 8 od
obou stran, dostanete, že x je mínus 8.
To jsem neměl vynechat.
Udělám to tady.
Nebo můžete říct, x mínus 2 se rovná 0.
Přidám 2 na obě strany, a dostanete x se rovná 2.
Takže čemu se musí rovnat x, aby toto bylo rovno 0?
A můžete se na to podívat odjinud.
Takže x může být buď mínus 8 nebo 2, a to je možnost C.
Příklad 51.
Leanne správně vyřešila rovnici x na druhou plus 4x
se rovná 6 tím, že ji doplnila na čtverec.
Jaká rovnice je součástí jejího řešení?
OK, takže to samé.
x na druhou plus 4x.
A když doplňujete na čtverec, budete něco přičítat
tady.
Takže tu nechám trochu prostoru.
Se rovná 6.
Takže, co tu mám přičíst, aby ten výraz
vypadal jako perfektní čtverec?
No,mám vzor, který jsme dělali v
minulých příkladech.
Cokoliv je tady, tady má být má být mocnina poloviny tohohle.
Takže 4---no, polovina toho je 2.
2 na druhou je 4.
Tak bych měl přidat 4 na tuto stranu.
Když přidám 4 na tu stranu, musím tu čtyřku
přidat i na tu druhou.
A teď to je 2 plus 2 se rovná 4.
2 krát 2 se rovná 4.
Takže tohle je x plus 2 na druhou.
Chci, abyste pochopili ten princip.
Neučte se nazpaměť kroky doplnění na čtverec.
Chci, abyste opravdu rozumněli proč.
To je polovina mocniny na druhou tohohle.
A to jsme ukázali na začátku.
Umocněte na druhou mnoho dvojčlenů a uvidíte, že
to bude ten případ.
Nicméně, takže tohle je x plus 2 na druhou.
To se bude rovnat--6 plus 4 se rovná 10.
A to je možnost B.
.
Myslím, že máme čas ještě na jeden.
Ještě jeden příklad, příklad 52.
Zkopíroval jsem ho a teď jsem ho vložil.
Carter řeší rovnici vytýkáním.
Jaká rovnice může být správná?
Ještě jednou, rád separuji číslo, které
jde do obou.
A všechny tyhle jsou dělitelná 5.
A tohle to jen zjednodušuje v mojí hlavě.
Takže když vydělím všechny tyhle 5--vlastně, jen můžu prostě
dělit obě strany rovnice 5.
0 děleno 5 je 0.
Takže pak ta levá strana děleno 5 se stane 2x
na druhou mínus 5x plus 3 se rovná 0.
Takže když tohle je 2x na druhou, takže to budou dvě čísla,
jejichž násobek je tři, a pak--takže se
zamysleme na chvíli.
Vlastně, napíšu to tady, protože myslím, že potřebuji
více místa.
2x na druhou mínus 5x plus 3 se rovná 0.
A jen vydělte obě strany rovnice
5 a dostanete tohle.
Tak se podívejme, co tu můžeme dělat.
Takže máme 2x na druhou a oni
nám už poradili, že budeme mít celé číslo,
takže to můžeme vytknout.
Takže intuitivně tohle bude 2x krát ---
však víte, plus něco.
Plus a.
Krát---kolikrát?
Krát asi x, že?
2x krát x je 2x na druhou.
To by nebylo úplně jasné, kdyby
nám už neřekli, že to můžeme vytknout.
Asi budete muset použít
kvadratickou rovnici nebo tak.
Ale vlastně kvadratická rovnice nebude něco
šíleného, zvládli
byste to šup šup.
Ale podívejme se, jestli to nějak odhadneme.
Takže to bude 2x plus něco krát x plus
něco dalšího.
Kdybychom to chtěli násobit, tak dostaneme 2x krát x je 2x
na druhou, jak to má být.
2x krát b je plus 2bx.
a krát x je plus ax.
a krát b je plus ab.
Tak se podívejme, co dostaneme.
.
Takže plus 2b plus ax plus ab.
2x na druhou.
OK, teď můžeme porovnat, co se shoduje.
To byl náš původní cíl.
Takže 2 krát b plus a se musí rovnat ---tenhle výraz je
stejný jako tenhle.
A ten výraz musí být to samé.
Ten výraz tady.
Takže zaprvé, mám kladnou 3.
Takže násobím dvě čísla kladnou 3.
Takže musí být obě kladná nebo zá***á.
A další zajímavá věc je, když vezmu
2 krát jedno z nich plus to druhé, dostanu
zá***é číslo.
Takže jediná možnost, když pracujete se zá***ými čísly,
a když ho násobíte kladným číslem a sečtete,
dostanete další zá***é číslo, je, že jsou obě
zá***á.
Tohle nám řeklo, že oba mají zápor,
protože tohle je kladné.
A protože když je sečtete bez zá***ých znamének,
dostanete zá***é číslo, to nám říká, že
tohle musí být také zá***é.
Tak se na to podívejme.
Takže zkusíme 3---zá***á 3 a zá***á 1.
Je to zá***á 3 a zá***á 1.
Takže máte pravdu.
Jo.
Jestliže b se rovná mínus 1 a a se rovná mínus 3, tak 2
krát mínus 1 je mínus 2.
Mínus 3.
Dobrá, takže b se rovná mínus 1 a a se rovná mínus 3.
Tohle je trochu umělecké dílo.
Myslím tím, není to šup šup, je to velice mechanický
způsob.
Kvadratická rovnice je jedna cesta. Ale tohle je nejlepší cesta,
alespoň vím, jak to udělat bez toho.
Takže víme, co je a a b.
Takže to je 2x---a je mínus 3.
2x mínus 3 krát x plus b. b je mínus 1.
Takže to je vytýkání.
Takže 2x mínus 3 krát x mínus 1, která?
A to mají přímo tady.
2x mínus 3.
Už nemám vůbec čas.
Uvidíme se v dalším videu.