Tip:
Highlight text to annotate it
X
Trojúhelník, který tu máme, je pravoúhlý trojúhelník.
A pravoúhlý trojúhelník je to proto, že má úhel 90 stupňů,
tedy pravý úhel.
Nejdelší straně pravoúhlého trojúhelníku říkáme...
- buďto se na ni můžete dívat jako
na nejdelší stranu pravoúhlého trojúhelníku
nebo jako na stranu naproti úhlu 90 stupňů -
...říkáme jí přepona.
Je to velice nóbl slovo pro celkem jednoduchou věc,
prostě nejdelší stranu pravoúhlého trojúhelníku
nebo stranu naproti úhlu 90 stupňů.
A je dobré to vědět, protože až někdo řekne 'přepona', vy si řeknete:
'Oh, oni prostě mluví o této straně,
té nejdelší straně, straně naproti úhlu 90 stupňů.'
V tomto videu chci dokázat vztah,
velmi známý vztah, a vy můžete vidět, kam tím směřuji.
Velice důležitý vztah mezi délkami stran
v pravoúhlém trojúhelníku.
Řekněme, že délce strany AC (velké A, velké C)
budeme říkat a (malé a).
Délce strany BC budeme říkat b.
Velká písmena použiju pro body (vrcholy) a malá použiju pro délky stran.
Délce přepony,
tedy délce strany AB, budeme říkat c.
A pojďme zjistit, jestli jsme schopni přijít na vztah mezi stranami a, b a c.
Abychom to mohli udělat, tak nejprve sestrojím další čáru,
nebo bych měl spíš říct další úsečku, mezi bodem C a přeponou.
Sestrojím ji tak, aby protínala přeponu pod pravým úhlem.
To můžete udělat vždycky. Tomuto bodu tady
budeme říkat velké D.
A jestli se obáváte, jak to můžete vždycky udělat...
Můžete si představit, že celý ten trojúhelník takhle otočíte.
Není to úplně důkaz, ale dává vám to alespoň obecnou představu,
jak sestrojit takový bod.
Když jsem ten trojúhelník otočil,
tak přepona je nyní toto - trojúhelník je na ní postavený.
Tenhle bod je nyní bod B, tenhle bod je A.
Celý trojúhelník jsme úplně obrátili.
Tohle je bod C. Můžete si představit, že z bodu C upustíte kámen
s nějakým provázkem, a ten by spadl na přeponu
pod pravým úhlem.
Tak jsme přišli na úsečku CD
- když bod D nakreslíme tady.
A důvod proč jsem to udělal je, že nyní můžeme přijít
na celou řadu zajímavých vztahů mezi podobnými trojúhelníky.
Máme tady 3 trojúhelníky: trojúhelník ADC,
trojúhelník DBC, a pak máme ten větší (původní) trojúhelník.
Můžeme, doufám, určit mezi těmito trojúhelníky podobnost.
Nejprve vám ukážu, že trojúhelník ADC je podobný s tímto větším trojúhelníkem,
protože oba mají pravý úhel.
ADC má pravý úhel tady.
Takže když tohle je úhel 90 stupňů,
tak tenhle úhel bude také 90 stupňů.
Jsou to vedlejší úhly (vedle sebe), takže musí v součtu dát 180 stupňů.
A oba dva mají pravý úhel.
Ten menší má pravý úhel
a ten větší má evidentně taky pravý úhel. Od toho jsme začínali.
Oba dva sdílí tento úhel
- úhel DAC nebo BAC (je jedno, jak mu chcete říkat).
Můžeme si ty trojúhelníky vypsat.
Začnu s tím menším:
ADC. Možná ho vystínuju.
Takže tohle je ten trojúhelník, o kterém mluvím - trojúhelník ADC.
A šel jsem od modrého úhlu přes pravý úhel
až k tomu neoznačenému úhlu (v trojúhelníku ADC).
Tenhle pravý úhel k tomuto trojúhelníku nepatří,
patří k tomu většímu trojúhelníku.
Můžeme říct, že trojúhelník ADC
je podobný trojúhelníku...
- Znovu. Chcete začít od modrého úhlu,
pokračovat přes pravý úhel
(takže už se k pravému úhlu nebudeme muset vracet)...
Takže to je trojúhelník ACB.
()
Protože jsou si podobné, tak můžeme přijít
na vztah mezi poměry jejich stran.
Například víme, že poměr odpovídajících stran
(obecně pro podobné trojúhelníky)...
Víme, že poměry odpovídajícíh stran
budou konstantní.
Takže můžeme vzít poměr přepony toho malého trojúhelníku
- přepona je AC - a přepony toho většího,
což je strana AB.
AC/AB bude to samé jako jako AD,
jako jedna z odvěsen...
- AD, jen abych vám ukázal, že beru odpovídající
body z obou podobných trojúhelníku -
Tohle je AD/AC.
Můžete se na ty trojúhelníky podívat sami
a říct si: 'Podívej, AD. Strana AD je mezi
modrým úhlem
a pravým úhlem.
Strana AC je mezi modrým úhlem a červeným úhlem
většího trojúhelníku.
Takže obě tyhle strany jsou z většího trojúhelníku
a tohle jsou odpovídající strany menšího trojúhelníku
a to je matoucí. Když se na ně podíváte vizuálně,
můžete - pokud jste napsali naše tvrzení o podobnosti správně -
můžete najít odpovídající body.
AC odpovídá straně AB většího trojúhelníku.
Strana AD menšího trojúhelníku odpovídá straně AC většího trojúhelníku.
A víme, že AC můžeme přepsat jako a.
AC je a.
AC je a.
Nemáme žádné označení pro strany AD a AB
Oh, označení pro stranu AB máme, je to c.
Nemáme označení pro AD,
takže tomu budeme říkat prostě d.
Takže d platí pouze pro tuto část,
c platí pro celou tuhle stranu.
A straně DB budeme říkat e,
to nám trochu zlehčí situaci.
Takže AD budeme říkat prostě d.
Máme, že a lomeno c se rovná d lomeno a.
Když vynásobíme křížem, tak dostaneme a krát a, což je a na druhou,
se rovná c krát d, což je cd.
To je docela zajímavý výsledek.
Pojďme se podívat, co dokážeme s tímto druhým trojúhelníkem.
S tímto trojúhelníkem tady.
Takže znovu. Tenhle trojúhelník má pravý úhel, ten větší má také pravý úhel
a oba sdílí tento úhel.
Takže podle úhlové podobnosti
budou tyto trojúhelníky podobné.
Můžeme říct, že trojúhelník BDC...
(šli jsme od růžového úhlu přes pravý k tomu neoznačenému)
...trojúhelník BDC je podobný trojúhelníku...
- teď se podíváme na ten větší trojúhelník.
Začenem od růžového úhlu (u vrcholu B),
budeme pokračovat přes pravý úhel k úhlu u vrcholu C
k vrcholu A.
Od růžového úhlu přes pravý k tomu neoznačenému.
()
Nyní se pokusíme zjistit nějaký vztah těchto dvou trojúhelníků.
Můžeme říct, že poměr stran je: strana BC menšího trojúhelníku
lomeno strana BA většího trojúhelníku.
BC/BA.
Znovu. Bereme přepony od obou těch trojúhelníků.
Takže BC/BA se bude rovnat BD...
(Napíšu to jinou barvou.)...BD, takže jedno z těchto ramen
- nakreslil jsem to tak, že BD je kratší rameno.
...BD/BC. Prostě beru odpovídající vrcholy (a strany).
Znovu. Víme, že BC je to samé jako b.
BC je b.
BA je c.
A BD jsme si definovali jako e.
Takže tohle je e.
Můžeme násobit křížem a dostaneme: b krát b,
což je...- a jak jsem zmínil ve spoustě videí, násobení křížem
je násobení obou stran oběma jmenovateli -
...b krát b se rovná ce.
A teď můžeme udělat něco celkem zajímavého.
Můžeme sečíst tato dvě tvrzení.
Přepíšu tohle tvrzení sem dolů.
Takže b na druhou se rovná ce.
Když sečteme levé strany, dostaneme a na druhou
plus b na druhou
se rovná cd plus ce.
A pak máme c v obou výrazech, takže to můžeme vytknout.
Tohle se bude rovnat - můžeme vytknout c -
...takže to bude c krát (d plus e).
c krát (d plus e). Uzavřeme závorku.
Teď co je d plus e?
d je tahle strana,
e je tahle strana.
Takže (d plus e) bude vlastně taky c.
Tohle bude c.
Jestli c krát c je to samé jako c na druhou,
tak nám nyní vyšel zajímavý vztah.
Vyšlo nám, že a na druhou plus b na druhou se rovná c na druhou.
Přepíšu to.
a na druhou...Napíšu to jinou barvou.
Omylem jsem to vymazal, takže to přepíšu znovu.
Právě jsme zjistili, že a na druhou
plus b na druhou se rovná c na druhou.
A to platí pro libovolný pravoúhlý trojúhelník.
A tohle platí pro libovolné dva pravoúhlé trojúhelníky.
Právě jsme zjistili, že součet druhých mocnin obou odvěsen
se rovná druhé odmocnině přepony.
A to je pravděpodobně jedna z nejslavnějších matematických
teorií pojmenovaná po Pythagorovi.
Není jisté, jestli byl první, kdo na ni přišel,
ale jmenuje se Pythagorova věta.
Pythagorova věta.
A to je vlastně základ ne celé,
ale podstatné části geometrie, kterou budeme probírat.
A je to základ celé trigonometrie, kterou budeme probírat.
Je to opravdu užitečné, protože když znáte 2 strany
pravoúhlého trojúhelníku, tak můžete spočítat tu třetí.