Tip:
Highlight text to annotate it
X
Čtvrtý rozměr
Jmenuji se Ludwig Schläfli,
byl jsem švýcarský geometr.
Žil jsem v devatenáctém století
a teď vám otevřu dveře do čtvrtého rozměru.
Byl jsem vizionář.
Jako jeden z prvních jsem pochopil,
že mnoharozměrné prostory existují 9 00:00:43,700 --> 00:00:46,580 a že lze studovat jejich geometrii.
Když mohou bytosti žijící v rovině
rozumět trojrozměrnému mnohostěnu,
proč bychom my nemohli zkoumat mnohostěny ve čtvrtém rozměru?
Jedním z mých hlavních výsledků
byl popis všech pravidelných mnohostěnů ve čtyřrozměrném světě.
Co je to čtvrtý rozměr?
Už o něm bylo popsáno mnoho papíru,
autory vědecké fantastiky nikdy neomrzí!
Vysvětlím vám to na tabuli.
Sami uvidíte, že je má tabule trošku kouzelná.
Důležité je, abyste se připravili zapomenout
svůj známý svět
a představili si nový svět,
ke kterému naše oči, ani ostatní smysly, nemají přímý přístup.
Musíme být chytří, stejně jako byly ještěrky.
Chystám se vylézt na kopec,
který, bohužel, nevidíte
a zkusím vám vysvětlit, co z něj uvidím já.
Nejdřív ale nakreslím přímku na tabuli.
Tady bude počátek.
Každý bod této přímky
může být určen svou vzdáleností od počátku.
Této vzdálenosti předřadíme zá***é znaménko,
když bude bude bod nalevo, kladná zůstane, pokud napravo.
Toto číslo obvykle značíme písmenkem x
a nazýváme souřadnicí.
Právě proto, že můžeme určit
pozici bodu jedním číslem,
říkáme, že je přímka jedno-rozměrná.
Teď nakreslím druhou osu,
bude svírat pravý úhel k té původní.
Každý bod na tabuli
je nyní popsaný dvojicí čísel.
Obvykle je značíme x a y: první a druhá souřadnice.
Rovina je proto dvou-rozměrná.
Chtěli-li byste rychle vysvětlit bytosti žijící na přímce,
co to je bod v rovině,
mohli byste prostě říct:
„Bod v rovině je uspořádaná dvojice čísel, jednorozměrná bytosti.“
Postupme do třetího rozměru.
Křída nyní píše do vzduchu
a kreslí třetí osu, která svírá pravý úhel s předchozíma dvěma.
Bod v prostoru je popsán třemi čísly:
x, y a z.
Plazům žijícím ve dvou rozměrech
bychom tedy mohli říct:
„Bod v prostoru jsou prostě tři čísla, dvourozměrní plazi.“
Postupme dál, do čtvrtého rozměru.
Můžeme zkusit nakreslit čtvrtou osu,
která by svírala pravý úhel s předchozími třemi, ale nejde to.
Zkusme něco jiného.
Samozřejmě bychom mohli říct,
že bod ve čtvrtém rozměru jsou
prostě čtyři čísla: x, y, z a t.
To nám ale moc nepomůže.
Navzdory těmto potížím — pojďme zkusit
získat alespoň nějaký cit pro tuto geometrii.
Jako první pomůcku pokusu o porozumění
zvolme analogii.
Toto je úsečka, …
… toto rovnostranný trojúhelník, …
… a toto nakonec je pravidelný čtyřstěn.
Naše kouzelná tabule nám umožňuje kreslit do prostoru.
Jak budeme pokračovat ve čtyřech rozměrech?
Pozorujeme, že úsečka, trojúhelník a čtyřstěn
mají po řadě 2, 3 a 4 vrcholy.
Pokračujme tedy s vrcholy pěti!
Nuže do toho.
V úsečce, trojúhelníku a čtyřstěnu,
hrany spojují každou dvojici vrcholů.
Pospojujme proto také našich pět vrcholů.
Napočítáme
jednu hranu,
dvě, tři, čtyři, 5, 6, 7, 8, 9 — 10 hran.
V čtyřstěnu
vidíme trojúhelníkovou stěnu pro každou trojici vrcholů.
Postupujme ve stejném duchu —
— to nám dává
dvě, tři, …, celkem deset stěn.
Pokračujeme-li v této analogii,
měli bychom přidat „nadstěnu“, čtyřstěn,
pro každou čtveřici vrcholů.
Takových čtveřic je pět.
To je vše! Vytvořili jsme čtyřrozměný útvar.
Budeme mu říkat „simplex“!
Nechme ho trošku otáčet se v prostoru,
stejně jako jsme to dělali s čtyřstěnem.
Samozřejmě musíte užít svoji představivost, abyste
si představili simplex rotující v čtyřech rozměrech.
Co vidíte, je jenom jeho projekcí na tabuli.
Vše trošku komplikuje fakt,
že stěny se mohou protínat.
No, k vidění ve 4D je potřeba jistá zkušenost.
Vezměme nyní simplex,
který je v 4-rozměru,
a pohybujme jím postupně tak, aby jeho rozdílné průměty
procházely „naším“ trojdimenzionálním prostorem.
Je to stejné, jako když plazi
viděli mnohoúhelníky, jak se objevují a mizí.
My uvidíme 3D mnohostěn,
jak se objeví, změní svůj tvar a poté zmizí.
Tady je simplex procházející naším trojrozměrným prostorem.
Nyní se setkáme s dalšími
čtyřrozměrnými mnohostěny,
jak procházejí naším třírozměrným světem.
Toto je hyperkostka, člen posloupnosti
úsečka — čtverec — krychle —…
Je třeba říct, že získávat geometrickou představu
z takovýchto „plátků“ je poměrně ošemetné.
Objevil jsem analogie dvacetistěnu a dvanáctistěnu.
Mají složité názvy,
ale já jim teď budu říkat prostě 120-nadstěn a 600-nastěn,
protože mají na 120 a 600 nadstěn.
Pohleďte na 120-nadstěn jak prochází naším prostorem.
A teď na 600-nadstěn.
Připomeňme si, že mluvíme-li o tom, že má tento útvar 600 nadstěn,
máme na mysli třírozměrné nadstěny.
Ano, těchto 600 nadstěn je 600 čtyřstěnů.
Stejně tak se 120-nadstěn sestává z 120 dvanáctistěnů!
Za minutku uvidíme, jak se s nimi poznat lépe.
Při pozorování těchto čtyřrozměrných útvarů
našima třírozměrnýma očima
se můžeme uchýlit k pozorování jejich stínů.
Tyto objekty jsou stále ve čtyřech rozměrech,
ale jsou promítány do třírozměrného prostoru,
naprosto stejně jako když malíř promítá krajinu na své plátno.
Viděli jsme simplex.
Tady je hyperkostka.
Necháme ji samozřejmě otáčet v prostoru,
abychom mohli ocenit všechny detaily.
Povšimněte si například, že má hyperkostka 16 vrcholů.
Tady vidíme něco nového,
jeden z mých nejkrásnějších objevů:
útvar, kterému říkám 24-nadstěn.
Nemá žádnou analogii v třetí dimenzi,
je to čistě čtyřrozměrné stvoření.
Jsem na tento svůj objev velmi hrdý.
Vizte tu nádheru! 24 vrcholů, 96 hran, 96 trojúhelníků a 24 osmistěnů.
Skutečný malý drahokam!
Tady je stín 120-nadstěnu
ve vší své majestátnosti.
Docela komplikované majestátnosti, je třeba uznat.
Pohleďme dovnitř na jeho strukturu.
600 vrcholů, 1200 hran!
Čtyři hrany začínají v každém vrcholu.
Naprosto pravidelná struktura.
Všechny vrcholy a všechny hrany mají tu samou úlohu.
Je škoda, že projekce kazí symetrii.
Nechme pracovat vaši představivost.
Představte si čtyřrozměrný útvar,
in which a huge group of rotations
permutes all these vertices and edges.
Vítězem je… 600-nadstěn!
Ohromná makromolukula
se 720 hranami a 120 vrcholy.
Z každého vrcholu vede 12 hran.
Náš průzkum čtyřrozměrných útvarů
se tu nezastaví,
jelikož jsme doposavaď k získání lepšího vhledu
neužili stereografické projekce.