Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
Mám množinu vektorů-- nechci je dělat
takhle silně.
Jeden vektor je vektor 2, 3
a druhý vektor je vektor 4, 6.
A chci odpovědět na otázku: Jaký je obal
těchto vektorů?
Předpokládejme, že jsou to poziční vektory.
Jaké jsou všechny vektory,
které mohou tyto dva vektory reprezentovat?
Vzpomeňte si, že obal jsou
všechny vektory, které mohou být reprezentovány
lineární kombinací těchto dvou.
Je to množina všech vektorů, které získám jako
konstanta krát 2 tohoto vektoru plus nějaká další
konstanta krát tento vektor. Jsou to všechny možnosti
které mohu reprezentovat, pokud použiji různá
reálná čísla c1 a c2.
První věc, kterou si možná uvědomíte je,
že tento vektor 2 je to samé jako
2 krát tento vektor.
Takže bych to mohl takto přepsat.
Mohl bych to přepsat jako c1 krát vektor 2,3 plus c2
krát vektor -- a zde, místo použití vektoru
4, 6 použiji 2 krát vektor 2,3, protože
tento vektor je jen násobkem toho vektoru.
Mohl bych napsat c2 krát 2 krát 2,3.
Myslím že vidíte, že je to to samé jako 4, 6.
2 krát 2 je 4.
2 krát 3 je 6.
Teď to můžeme trochu zjednodušit.
Můžeme přepsat toto jako c1 plus 2c2, to vše krát
2, 3, krát náš vektor 2,3.
A toto je libovolná konstanta.
Je to nějaká libovolná konstanta plus 2 krát nějaká další
libovolná konstanta.
Můžeme to nazvat c3 krát můj vektor 2,3.
V této situaci, přesto že jsme začali se dvěmi
vektory, a jak jsme říkal, víme, že obal těchto dvou
vektorů je roven všem vektorům, které
mohou být vytvořeny lineární kombinací těchto vektorů,
libovolnou lineární kombinací,
pokud tady použiji substituci, můžeme to redukovat na
skalární součim mého prvního vektoru.
A mohl bych na to jít také jinak.
Mohl bych nahradit tento vektor 1/2 tohoto,
a udělat jakoukoliv kombinaci skalárního násobku
druhého vektoru.
Ale fakt je, že místo lineární kombinace
dvou vektorů, mohl bych to zredukovat na
skalární kombinaci jednoho vektoru.
A skalární kombinaci jednoho vektoru jsme již viděli v R2,
obzvlášť pokud se jedná o poziční vektory.
Například tento vektor 2,3.
Je to 2,3.
Vypadá takto.
Všechny skalární kombinace tohoto vektoru
budou ležet na této přímce.
Takže 2, 3 bude právě zde.
Budou ležet na této přímce přesně tady,
takže tato přímka bude v obou směrech nekonečná.
A pokud bych vzal zá***é hodnoty 2, 3,
půjdu sem dolů.
Pokud použiji kladné hodnoty, půjdu sem.
Pokud použiji velmi velké pozitivní hodnoty,
půjde to sem nahoru.
Ale mohu pouze prezentovat vektory, a když je dám
do standardní formy, jejich šipky budou
vytyčovat tuto přímku.
Takže mohu říct, že obal mé množiny vektorů,
umístím je sem.
-
Obal množiny vektorů 2, 3 a 4, 6 je
tato přímka.
Přestože máme dva vektory,
jsou vpodstatě kolineární.
Jeden je násobkem druhého.
Pokud toto je 2, 3, tak 4, 6 je právě zde.
Je to ten delší vektor tady.
Jsou kolineární..
Tyto dva vektory jsou kolineární.
-
V tomto případě, když máme dva kolienární vektory
v R2, jejich obal se zredukuje do této přímky.
Nemůžete reprezentovat nějaké vektory jako--
použiji novou barvu.
Nemůžete reprezentovat tento vektor
nějakou kombinací těchto dvou vektorů,
Nemůžete se dostat z této přímky.
Takže není žádný zůsob, jak reprezentovat všechno v R2.
Obal je prostě jen tato přímka.
Teď, podobný nápad, všimněte si, že pokud máte
dva vektory, ale vlastně zredukované do jednoho vektoru,
když použijete jejich lineární kombinaci.
Ta související myšlenka je, že můžeme nazávat tuto množinu--
nazýváme ji lineárně závislostou.
Napíšu to: lineární závislost.
Toto je lineárně závislá množina.
A lineární závislost znamená, že jeden z těchto vektorů
v této množině, může být reprezentován nějakou kombinací
dalších vektorů v množině.
Jakýkoliv vektor si vyberete,
může být reprezentován jinými vektory,
nepřidává to žádný nový směr ani novou informaci.
V tomto případě jsme již měli vektor,
který směřoval tímto směrem, a pokud použijete tento 4, 6
jdete stejným směrem, pouze s větším rozsahem.
Takže nám to nedává žádnou novou dimenzi,
abychom se dostali z této přímky.
A můžete si představit v 3D prostoru, že pokud máte jeden vektor
který vypadá jako tento a další vektor, který vypadá
takto, dva vektory, které nejsou kolineární,
definují jistý dvou-rozměrný prostor.
Mohou definovat dvou-rozměrný prostor.
Řekněme, že toto je rovina
definována těmito dvěmi vektory.
Pro definování R3, třetí vektor v množině nesmí být
koplanární s těmito dvěmi.
Pokud je třetí vektor koplanární s těmtio,
nepřidává žádný nový směr.
Takže tato množina třech vektorů
bude také lineárně závislá.
Další způsob jakým uvažovat je, že tyto dva fialové
vektory obalují tuto rovinu, obalují rovinu, kterou
vpodstatě definují.
Cokoliv v této rovině směrující jakýmkoliv směrem,
může být jakýkoliv vektor v této rovině, když ji obalíme.
Znamená to, že jakýkoliv vektor, může být reprezentovat
tímto vektorem a tímto vektorem, což znamená, že
pokud je tento vektor v rovině, může být reprezentován
lineární kombinací tohoto a tohoto vektoru.
Tento zelený vektor, který jsem přidal, nepřidává nic
do obalu naší množiny vektorů a to proto,
že je to lineárně závislá množina.
Tento může být reprezentován jako součet tohoto a tohoto,
protože tento a tento obalují tuto rovinu.
Abychom obalem těchto tří vektorů získali
více dimenzí, nebo repreznetovali R3,
třetí vektor bude muset být mimo tuto rovinu.
Bude muset vybočit z této roviny.
A pokud vektor vybočuje y roviny,
znamená to, že nemůže být nijak reprezentován
v této rovině, takže je mimo obal těchto dvou vektorů.
Když je mimo, nemůže být reprezentován
lineární kombinací tohoto a tohoto vektoru.
Pokud použiji tento vektor, tento a tento,
pouze tyto tři, žádný jiný, který jsem nakreslil,
budou lineárně nezávislé.
Nakreslím vám více příkladů.
Tento byl možná až příliš abstraktní.
Mám vektory 2, 3 a
7,2 a 9, 5.
Jsou lineárně závislé nebo nezávislé?
Prvně vás napadne, no, to není tak jednoduché.
Tento není skalárním násobkem tohoto.
Nevypadá ani jako skalární násobek
zbylých dvou vektorů.
Možná jsou lineárně nezávislé.
Ale, když se podíváte pořádně, vidíte, že
v je, pokud toto nazveme v1, vektor 1 plus vektor 2,
pokud toto nazveme vektorem 2, roven vektoru 3.
Takže vektor 3 je lineární kombinací
těch dalších dvou vektorů.
Toto je tedy lineárně závislá množina.
Pokud bychom si to chtěli ukázat, nakreslit v nějakém 2D prostoru,
to je jen obecná myšlenka-- uvidíme.
Nakreslím to v R2.
Základní myšlenka je, že když máte tři 2-rozměrné
vektory, jeden z nich bude redundantní.
Jeden z nich určitě bude redundantní.
Například, pokud máme 2,3
vektor který je tady jako první.
Nakreslím ho ve standardní pozici.
A nakreslím tento vektor 7, 2,
abych vám ukázal, že jakýkoliv bod v R2 může být reprezentován
lineární kombinací těchto dvou vektorů.
Můžeme udělat i nějakou grafickou reprezentaci.
To jsem již udělal v předchozím videu, takže
mohu napsat že obal v1 a v2 je roven R2.
To znamená, že každý vektor, každá pozice tady,
může být repreznetována nějakou lineární kombinací těchto dvou vektorů.
Vektor 9, 5, ten je v R2.
Je v R2, že?
Očividně.
Zakreslil jsem ho do této roviny.
Toto je náš dvou-dimenzionální prostor reálných čísel.
Mohu ho nazývat prostorem nebo množinou R2.
Je tady.
Přímo zde.
Jak jsme řekli, cokoliv v R2 může být reprezentováno
lineární kombinací těchto dvou vektorů.
Toto je v R2, tudíž to může být reprezentováno
jako lineární kombinace.
Doufám, že již začínáte vidět vztah
mezi obalem a lineární nezávislostí nebo
lineární závislostí.
Udělám další příklad.
Mám tyto vektory-- použiji novou barvu.
Mám tyto vektory-- a tento bude celkem
jasný-- 7, 0, to je můj v1, a můj druhý vektor
je vektor 0, -1.
To je v2.
Je tato množina lineárně nezávislá?
Je to lineárně nezávislé?
Mohu reprezentovat jeden vektor
jako kombinaci toho druhého?
A pokud mluvím o kombinaci,
museli byste jeden z vektorů rozšířit, abyste dostali druhý.
Protože jsou zde jen dva vektory.
Pokud zkouším přičíst k tomuto vektor,
jediná věc, kterou musím vyřešit je toto,
takže jediné co mohu udělat je rozšířit ho.
Tady nemohu dělat nic.
Nezáleží na tom čím vynásobím tento vektor, jakou konstantou,
a přičtu ho k sobě nebo rozšířím, tento výraz
vyjde vždy nula.
Vždycky to bude 0.
Takže nic, čím mohu vynásobit ten vektor,
mi nedá tento vektor.
Podobně nezáleží na tom, čím vynásobím tento vektor,
výraz nahoře vždy vyjde nula.
Neexistuje způsob jak se dostat k tomuto vektoru.
Takže pro oba tyto vektory neexistuje způsob,
jak reprezentovat jeden jako kombinaci druhého.
Tyto dva vektory jsou lineárně nezávislé.
Můžete to dokonce vidět kdzž si to nakreslíme.
Jeden je 7, 0 což vypadá takto.
Udělám to v nějaké jiné barvě než žluté.
-
7, 0.
A druhý je 0, -1.
Myslím, že je jednoznačně vidět, že když uděláte
lineární kombinaci jakéhokoliv z těchto dvou vektorů,
můžete reprezentovat cokoliv v R2.
Obalem těchto vektorů, abyste si zvykli na naší notaci,
obal v1 a v2 je roven R2.
Dostáváme se k dalším zajímavému bodu.
Řekl jsem, že obal v1 a v2 je R2.
Co je obalem v1, v2 a v3
v tomto příkladu tady nahoře?
To už jsem vám řekl.
Už jsme vám ukázal, že tento třetí vektor
může být reprezentován jako lineární kombinace těchto dvou.
Je to vlastně součet těchto dvou.
Mohu to dokonce i nakreslit.
Jsou to vlastně sečetené tyto dva vektory.
Takže je jasné, že může být reprezentován
lineární kombinací těchto dvou vektorů.
Co je tedy jejch obal?
Fakt, že tento vektor je redundantní, znamená,
že nemění obal.
Nemění všechny možné lineární kombinace.
Takže obalem bude R2.
Je to jen více vektorů, než je nezbyné,
pro obalení R2.
R2 je dvou-dimenzionální prostor, a potřebujete dva vektory.
Takže toto je vlastně efektivnější způsob
získání báze, ještě jsem formálně nedefinoval bázi, ale
chci jí používat, a potom to
bude dávat smysl až jí definuji formálně.
Toto poskytuje lepší bázi, nebo bázi, množinu
ne-redundantních vektorů reprezentujících R2.
Zatímco tato je redundantní.
Takže to není dobrá báze R2.
Ukáži vám více příkladů ve troj dimenzionálním prostoru.
A potom formálněji definuji lineární závislost a nezávislost
v dalším videu.
Mám vektor 2, 0, 0.
Udělám podobný parametr jako tady:
Vektor 2, 0, 0, vektor 0, 1, 0 a vektor 0, 0, 7.
-
Nacházíme se v R3, že?
Každý z těchto vektorů je tří-dimenzionální vektor.
Jsou tedy lineární závislé nebo
lineárně nezávislé?
Promiňte, jsou lineárně závislé nebo nezávislé?
No, není zde žádný způsob, jak kombinací těchto dvou vektorů
skončit s touto složkou nenulovou,
abych utvořil tento třetí vektor, že?
Protože nezáleží čím násobím tento a tento
vektor, poslední složka bude nulová.
Takže vlastně přidává nový směr
do naší množiny vektorů.
Obdobně, není nic co bych mohl--
Není kombinace tohoto vektoru a tohoto vektoru,
se kterou bych dostal tuto složku nenulovou.
A konečně, není kombinace tohoto a tohoto vektoru,
se kterou bych dostal tuto složku nenulovou.
Tato množina je tedy lineárně nezávislá.
-
A pokud byste chtěli nakreslit tyto vektory ve 3D,
zjistili byste, že žádný z těchto třech vektorů
neleží na stejné rovině.
Očividně kterékoliv 2 vektory leží na rovině,
ale pokud byste jí vykreslili, dostali byste 2,0.
Řekněme že toto je osa x.
Toto je 2, 0, 0.
Tady je 0, 1, 0.
Toto je osa y.
A tady je 0,0,7.
Vypadalo by to asi takto.
Skoro to vypadá, že vaše tří-dimenzionální osy,
skoro vypadají jako vektory i, j, k.
Jen jsou trochu rozšířené.
Ale to můžete kdykoliv opravit jejich zmenšením,
že?
Protože nás zajímá jakákoliv lineární kombinace.
Obal těchto třech vektorů,
protože všechny přidávají nový směr, je R3.
-
Myslím že to stačí pro toto video.
Uvědomil jsem si, že dělám stále delší a delší videa.
A chtěl bych se dostat zpět k dělání kratších.
V příštím videu udělám formálnější
definici lineární závislosti,
a uděláme spoustu dalších příkladů.
-