Tip:
Highlight text to annotate it
X
Mějme dva nenulové vektory.
Označme první vektor x, druhý vektor jako y.
Oba dva vektory náleží naší množine.
Oba dva náleží množine Rn a oba jsou nenulové.
Ukazuje se, že absolutní hodnota jejich...
...použiju jinou barvu.
Tahle barva je pěkná.
Tak tedy, absolutní hodnota jejich skalárního součinu
...a pamatujme, že jde pouze o skalární veličinu...
je menší nebo rovna součinu jejich velikostí.
Již jsem si definovali skalární součin,
již jsem si definovali velikost vektoru.
Takže, je menší nebo rovna součtu jejich velikostí a
navíc, jediný případ, kdy se jedná o rovnost,
tedy, že skalární součin vektorů
bude roven součinu jejich délek
pouze v případě, že
jeden z vektorů je skalárním násobkem
vektoru druhého.
Nebo-li, jedná se o linerání kombinaci.
Však víte, to je přece totéž.
Jen jiný pojem.
Tudíž jen v případě, že, dejme tomu, x je
lineární kombinací y.
Tato nerovnost, nebo vlastně rovnost této nerovnosti,
se nazývá Cauchyho-Schwarzova nerovnost.
Cauchyho-Schwarzova nerovnost.
Nyní si větu dokažme,
protože se přece nespokojíme,
s tvrzením, že to tak prostě je.
Začněme vytvořením trochu umělé funkce.
Začněme vytvořením funkce.... funkce nějaké proměnné,
nějaké skalární veličiny, například t.
Označme p(t) jako délku vektoru t
krát vektor y... tedy nějaký skalár t krát vektor
y mínus vektor x.
Což je tedy délka tohoto vektoru.
Toto je nyní také vektor.
A to na druhou.
Ještě, než budeme pokračovat, chtěl bych
ještě něco připomenout.
Pokud vezmu velikost jakéhokoli reálného vektoru... ...což teď udělám.
Vezměme velikost nějakého vektoru v.
Měli bychom si uvědomit, že velikost bude kladné
číslo. Nebo alespoň nezá***é.
Protože každý člen bude povýšen na druhou.
...v2 na druhou... až do vn na druhou.
Všechny členy jsou reálná čísla.
Pokud tedy povýšíme jakékoliv reálné číslo na druhou, vždy dostaneme něco většího než
nebo rovného nule.
Pokud je sečteme, opět dostaneme něco
většího nebo rovného nule.
A když výraz odmocníme,
zase dostaneme
něco většího nebo rovného nule.
Tudíž velikost jakéhokoliv reálného vektoru bude vždy větší
nebo rovna nule.
Toto je tedy velikost reálného vektoru.
Z toho plyne, že výraz bude větší nebo roven nule.
V minulém videu, teda asi v předminulém,
jsme si ukázali, že velikost vektoru na druhou
může být zapsána taktéž jako skalární součin
vektoru se sebe samým.
Přepišme tedy náš vektor tímto způsobem.
Velikost tohoto vektoru je tedy rovna skalárnímu
součinu vektoru se sebe samým.
Takže, ty - x . ty - x.
V posledním videu jsme si ukázali, že
násobení... nebo skalární součin
podobně jako běžné násobení, pokud jde
o asociativitu, distributivitu a komutativitu.
Takže, když provedeme toto násobení,
můžeme se na to dívat jako na násobení dvoučlenů.
Lze to provést podobně jako násobení
běžných algebraických dvoučlenů.
Jednoduše využijeme distributivity.
Ale pamatujme, že nejde o běžné násobení.
Provádíme přece skalární součin.
Jde o vektorové násobení... nebo o jednu
z variant.
Využijme distributivity, takže nyní máme ty . ty,
....napíši to.
Takže nyní píšeme ty . ty
A následně dostaneme mínus... uděláme to takhle.
Pak dostaneme mínus x krát tento výraz ty
Vlastně bych měl místo "krát"
používat "sklární součin".
Takže skalární součin -x a ty.
A nyní máme tedy tohle ty krát toto -x.
Pak píšeme skalární součin -ty a x.
A konečně máme skálární součin obou x.
Což je tedy skalární součin -x a -x.
Přičteme tedy -x.
Můžeme to vidět jako plus (-x) nebo plus (-1).
Takže to máme skalární součin výrazů mínus 1x a mínus 1x.
Takže.
Toto je celý zjednodušený výraz.. nebo tedy
rozšířený.
Vlastně to nemůžu nazvat zjednodušením.
Ale můžeme využít komutativity
a asociativity k přepsání tohoto výrazu.
To je tedy rovná sklaráním součinu y a y t na druhou
..t je skalární veličina.
Mínus... a tohle je vlastně 2.
Tyto dva členy jsou ekvivalentní.
Jde pouze o jinou formu téhož a již jsme nahlédli, že
skalární součin je asociativní.
Proto je toto rovno dvěma... krát skalární součin x*y krát t.
Možná bych měl změnit barvu.
Takže tyto dva členy lze přepsat jako tento člen.
A pak, stačí přepsat a máme mínus 1
krát mínus 1.
To se vykrátí, získáme plus a zůstane nám
pouze skalární součin dvou x.
A tohle chce taky jinou barvou.
Třeba oranžovou.
Takže tyto členy se nakonec stanou tímto členem.
Samozřejme, tento člen se pak změní takto.
Jedině, co jsem udělal, je, že jsem tu věc
přepal a řekl, podívejme...
...toto musí být větší nebo rovno nule.
Takže to mohu napsat i zde.
Tento výraz je totiž stále stejná věc.
Pouze jsem jej přepsal.
Takže stále musí být větší nebo roven nule.
Nyní proveďmě malou substituci, abychom
náš výraz trochu vyčistili.
Později substituci odstraníme.
Označme tento výraz jako a.
Tuto část jako b.
Takže ta celá věc bude b.
t tam ponecháme.
A nyní označme tento člen
jako c.
Skalární součin x a x bude c.
Jak bude náš výraz vypadat?
Bude to t na druhou mínus.. měl bych být
opatrný s barvama... b krát t plus c.
Samozřejmě víme, že výraz je větší
nebo roven nule.
Stále jde o stejnou věc jako nahoře,
větší nebo rovno nule.
Můžu tu napsat p(t).
Takže toto je větší nebo rovnou nule pro jakékoliv t,
které zde dosadíme.
Pro libovolné reálné t, které dosadíme.
Dosaďme do naší funkce b lomeno 2a.
A to mohu bez problému udělat. Protože vím, co je a.
Pouze musíme ošetřit dělení nulou.
a je tedy skalární součin nějakého vektoru a sebe sama.
A předpokládali jsme, že vektor je nenulový.
Tudíž, vidíme, že jde o velikost vektoru na druhou.
Jde o nenulový vektor, takže některé výrazy budou
určitě kladné, když budeme brát jejich velikost.
Takže tento člen je určitě nenulový.
Jde přece o nenulový vektor.
Tedy tento skalární součin násobený dvojkou
je stále nenulový.
Takže bez problému.
Žádné dělení nulou.
Ale čemu se to tedy bude rovnat?
To se bude rovnat... a zůstaňme u zelené.
Zabírá moc času měnit barvy.
Takže se to rovná a krát tento výraz na druhou.
To je b na druhou lomeno 4a na druhou.
Umocnil jsem 2a, abych dostal 4 a na druhou.
Mínus b krát toto.
Tedy b krát ... tohle je běžné násobení.
b krát b lomeno 2a.
Zapišme tu běžné násobení.
Plus c.
A víme, že vše je stále větší nebo rovno nule.
Nyní, když výraz zjednodušíme, co dostaneme?
No, toto a se vykrátí a
zde nám zůstane b na druhou.
Takže máme b na druhou lomeno 4a mínus b na druhou lomeno 2a.
To je tenhle výraz.
Plus c. Větší nebo rovno nule.
A ještě to upravme.
Pokud výraz rozšířím dvojkou,
co dostaneme?
Získáme 2 b na druhou lomeno 4a.
Důvod, proč jsme tuto úpravu provedli, je
společný jmenovatel.
Takže co dostaneme?
Máme b na druhou lomeno 4a mínus 2b na druhou lomeno 4a.
Takže jak tento výraz zjednodušíme?
Čitatel je tedy b na druhou mínus 2b na druhou.
Zůstane nám mínus b na druhou lomeno 4a plus c
je větší nebo rovno 0.
Z těchto dvou členů vznikne jeden.
Nyní, když toto přičteme k obě stranám rovnice,
získáme: c je větší nebo rovno b na druhou lomeno 4a.
Původně to bylo na levé straně zá***é.
Když to přičtu k oběma stranám, bude to kladné,
na pravé straně.
Takže jsme dostali něco, co vypadá jako nerovnost.
Odstraňme nyní substituci a podívejme se,
jak výraz vypadá nyní.
Kde mám tu původní substituci?
Tady byla.
A vlastně, abychom výraz ještě víc zjednodušili,
vynásobme obě strany 4a.
Připomenu, že a je nejenom nenulové, ale
také kladné.
Toto je druhá mocnina jeho velikosti.
A již jsme si ukázali, že velikost libovolného reálného vektoru
bude vždy kladná.
A důvod, proč se, tak snažím dokázat, že a bude kladné, je,
že pokud vynásobím obě strany nerovnice,
nechci, aby se změnila znaménka.
Takže vynásobme obě strany rovnice členem a,
než odstraníme substituci.
Takže získáme 4ac je větší nebo rovno b na druhou.
To je ono.
A stálo to hodně úsilí.
Dokázali jsme, že a bude kladné, protože
jde vlastně o druhou mocninu jeho velikosti. Skalární součin y a y je druhá mocnina
velikosti vektoru y... což je kladné číslo.
Musí být kladná.
Pracujeme přece s reálnými vektory.
Nyní odstraňme substituci.
Takže, 4 krát a, 4 krát skalární součin y a y.
Skalární součin je... mohl bych to tady napsat.
Skalární součin je totéž jako velikost vektoru y, to celé na druhou.
To je skalární součin.
Toto je a.
Skalární součin jsem vysvětloval minule.
Krát c.
c je skalární součin x a x.
Tedy, tento skalární součin je totéž
jako velikost vektoru x, to celé na druhou.
To bylo tedy c.
Tedy, 4 krát a krát c bude větší
nebo rovno b na druhou.
A cože bylo to b? Tohle bylo b.
Takže b na druhou bude dvakrát skalární součin x a y, ten na druhou.
Takže jsme došli až sem.
Co uděláme dál?
Pardon, celé je to na druhou.
Celý tenhle člen byl b.
Podívejme se, jak to lze dál zjednodušit.
Takže dostaneme.... změním barvu.
4 krát velikost vektoru y na druhou krát velikost vektoru x na druhou,
je větší nebo rovno... pokud umocníme
tento člen, získáme 4 krát skalární součin x a y.
4 krát skalární součin x a y, krát skalární součin x a y.
Anebo, ještě lépe, zapišme to takto.
Pišme 4 krát skalární součin x a y, ten na druhou.
Nyní můžeme obě strany vydělit čytřkou.
To nijak nezmění nerovnost.
To se prostě vyruší.
A nyní obě strany rovnice
odmocníme.
Takže odmocnina je...
jde o kladná čísla, takže odmocnina této strany je
odmocnina každé jednotlivého členu.
To je pouze pravidlo pro počítání s exponenty.
Takže když odmocníme obě dvě strany, získáme
velikost vektoru y krát velikost vektoru x je větší nebo rovna
než odmocnina tohoto.
A získáme kladnou odmocninu.
Kladnou odmocninu
na obou stranách rovnice.
Takže se nemusíme starat o žádná
znaménka nebo tak něco.
Takže kladná odmocnina bude absolutní hodnotou
skalárního součinu x a y.
A musíme být velmi opatrní, abychom mohli prohlásit, že je to absolutní
hodnota... protože je možné, že tato věc, tady vpravo
je zá***á.
Ale když to umocníme na druhou, chceme si být jisti,
že když člen odmocníme,
číslo stále zůstane kladné.
Protože v opačném případě bychom museli
řešit znaménka.
Takže získáme kladnou odmocninu, která bude...
když ted vezmeme absolutní hodnotu, budeme si jisti,
že máme kladnou hodnotu.
Ale to je přesně ono.
Absolutní hodnota skalárního součinu našich vektoru je menší
nebo rovna součinu velikostí dvou vektoru.
Získali jsme Cauchyho-Schwarzovu nerovnost.
Nyní se ještě podívejme - co by se stalo, kdyby
x byl násobkem vektoru y?
V tomto případě, co je absolutní hodnotou?
Absolutní hodnotou skalárního součinu vektorů x a y?
To se rovná... to se rovná čemu?
Když dosadíme, tak dostaneme absolutní hodnotu z
c krát y.
Což je tedy skalární součin x a y,
což je díky asociativitě rovno
absolutní hodnotě c krát... chceme si
být jisti, že díky absolutní hodnotě je vše kladné....
krát skalární součin y a y.
Což je rovno právě c krát velikost y.... což
je velikost y na druhou.
Což se tedy rovná velikosti c krát...
...nebo tedy absolutní hodnoty našeho skaláru c krát velikost vektoru y.
A to můžeme ještě dále upravit.
To si můžete sami dokázat, pokud nevěříte, ale
toto... můžeme vložit c dovnitř, do velikosti,
což může být pro vás dobré cvičení k dokázání.
Ale je to zřejmé.
Prostě použijeme definici velikosti.
A vynásobíme ji c.
Toto je tedy rovno velikosti cy krát... řekněme
velikosti cy krát velikost y.
Zapomněl jsem značit vektory.
A nyní.
Toto je x.
Takže se to rovná velikosti y krát velikost y.
Takže jsem dokázal druhou část
Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti, že rovnost
platí pouze v případě, že jeden z vektorů je násobkem vektoru druhého.
Pokud nejsou některé kroky jasné,
mohlo by být užitečné zkusit si toto tvrzení
skutečně dokázat.
Například dokázat, že absolutní hodnota c krát
velikost vektoru y je totéž jako
velikost c krát y.
Každopádně, snad to bylo užitečné.
Cauchyho-Schwarzovu nerovnost budeme používat k dokazování
dalších tvrzení v lineární algebře.
V budoucích videích ukáži,
proč tomu tak je - ve vztahu
ke skalárnímu součinu.