Tip:
Highlight text to annotate it
X
JAMES GRIME: Dnes se budeme bavit o jedné
z otázek, na které se nás na Numberphilu hodně ptáte,
a ta otázka zní-- Brady, jak zní ta otázka?
BRADY HARAN: Otázka zní, proč se 0 faktoriál rovná 1?
JAMES GRIME: Dobře.
Proč se 0 faktoriál rovná 1?
Takže začněme s rychlým zopakováním toho, co to
faktoriál je.
Pro naše celé číslo, třeba číslo n--
n faktoriál, což se zapíše takto: n
s vykřičníkem.
To se rovná.
Vynásobíš všechna celá čísla
menší nebo rovno n.
Je to n krát n mínus 1 krát n mínus 2
krát--
a tak pořád dál, až dojdeš k 3
krát 2 krát 1.
Rychlý příklad.
Udělejme 5 faktoriál.
5 krát 4 krát 3 krát 2 krát 1.
A tohle uděláš.
To je 120.
OK.
Otázka, která nám byla kladena, je, kolik je 0 faktoriál.
Takže jednou z možných odpovědí-- jednou z nich je
zachování vzoru.
Pojďme si doplnit vzor.
Tenhle konkrétní vzor, 4 faktoriál, se rovná 5
faktoriál děleno 5.
Jestli to nevidíte, tak když vezmu 5 faktoriál a vydělím to
5, pak můžu vykrá*** tu 5 a
zbyde nám 4 faktoriál.
Takže 5 faktoriál děleno 5, nebo 120 děleno 5,
to je 24.
To je 4 faktoriál.
3 faktoriál bude 4 faktoriál děleno 4.
To je 24 děleno 4.
To je 6.
To je odpověď na 3 faktoriál.
2 faktoriál, 3 faktoriál děleno 3, 6, jak jsme
právě spočítali, děleno 3 se rovná 2.
1 faktoriál.
To samé.
Je to 2 faktoriál děleno 2.
2 faktoriál je 2, děleno 2.
Máme 2 děleno 2.
To se rovná 1.
A teď se dostáváme k tomu zajímavému.
Cítíš to napětí?
Takže 0 faktoriál.
Zachováme vzor.
0 faktoriál je 1 faktoriál děleno 1.
1 faktoriál je 1.
Je to 1 děleno 1 a to se rovná 1.
Takže 0 faktoriál se rovná 1.
Zachováváš vzor.
BRADY HARAN: Kdo říká, že musíš zachovat vzor?
Kde se to pravidlo vzalo?
JAMES GRIME: Myslím, že to nemusí být nutně jenom
vzor, co zachováváš.
I když to tak je.
Zkusím to vysvětlit ještě jinak.
BRADY HARAN: Já v tom budu pokračovat.
Znamená to, že -1 faktoriál by byl další
v téhle řadě?
JAMES GRIME: Pojďme se podívat, co se stane.
Nejsem si jistý, co se stane.
Zkusme to.
Mínus 1 faktoriál.
Takže co dostaneme?
0 faktoriál děleno 0.
1 děleno 0.
BRADY HARAN: Aha, děleno 0.
JAMES GRIME: Rozbil jsi matematiku, Brady.
To už nedělej.
Teď další vysvětlení toho, kolik může 0 faktoriál být.
n faktoriál je počet způsobů, kterými můžeš
uspořádat n objektů.
Ukážu ti, co tím myslím.
Vemme si nějaké objekty.
Vytáhnu peněženku.
Vyhrabu nějaké mince.
Vidíš?
Kdo říká, že matematici nejsou bohatí?
Mám doslova 50 pencí.
Vemme tu stříbrnou a 5 pencí.
Máme tři objekty, a kolika způsoby můžeme uspořádat
tři objekty?
Existuje šest způsobů.
To je 3 faktoriál.
Podívejme se na ně.
Tohle je jeden, tohle je druhý, tohle může být tady--
to je tři, to je čtyři.
Nebo můžeme--
Myslím, že tuhle jsme na začátku neměli.
Takže to by byl pátý a šestý.
Když dáme jeden pryč, máme dva objekty.
Kolika způsoby můžeme uspořádat dva objekty?
Tohle je jeden, tohle je druhý.
Odebereme další.
Kolika způsoby můžeme uspořádat jeden objekt?
Jen takhle.
Je jen jeden způsob, jak to udělat.
Jeden způsob, jak uspořádat jeden objekt.
Teď odebereme tu poslední minci.
Tady to začne být trochu filozofické.
Máme nula objektů.
Kolika způsoby můžeme uspořádat nula objektů?
Je jeden způsob, jak to udělat.
Tady je.
Chceš ho vidět znovu?
Tady je.
Trošku filozofické, ale říkáme, že je jeden způsob, jak
uspořádat nula objektů.
Takže vzor je zase zachován.
0 faktoriál se rovná 1.
Jen tak pro zajímavost, když jsme u tématu faktoriálu,
zkusme si ho zanést do grafu.
Takže řekněme, že máme jedna, dvě, tři, čtyři, pět.
1 faktoriál je 1, takže tady máme 1.
2 faktoriál je 2, takže asi někde tady.
3 faktoriál je 6.
Nevím.
Asi tady někde.
4 faktoriál je 24, takže to bude někde
tady nahoře.
A 5 faktoriál bude potom někde hodně vysoko.
Když to všechno spojíme, taky jsem říkal, že 0
faktoriál je 1, takže počítám, že tohle je ten graf.
Takže teoreticky bychom měli být schopni získat
i mezilehlé hodnoty, takže třeba 1 a 1/2.
1 a 1/2 faktoriál.
Kolik je 1 a 1/2 faktoriál?
Takže tohle matematici udělali.
Zobecnili tu myšlenku.
A myšlenka faktoriálu 1 a 1/2 existuje.
Říkáme jí gama.
Tohle je řecké písmeno gama.
Říkáme tomu gama něčeho.
A zapisujeme to--
ve skutečnosti to teď začíná být trochu složitější.
Říkáme, že gama n se rovná integrálu od 0 do
nekonečna z--
tak třeba--
t na n mínus 1, to celé krát
e na mínus n dn.
Tohle někteří nemusí znát.
Někteří z vás to znát budou.
Někteří ne.
Jde o poněkud komplikovanější matematickou myšlenku,
která se ale shoduje s faktoriály.
Ale dá vám navíc i mezilehlé hodnoty.
A tohle je její graf.
Ještě něco vám k tomu musím říct.
Je to trochu nečekané, ale když vezmeme hodnotu
celého čísla, gama n, a n je celé, tak tohle vám ve skutečnosti
dá n mínus 1 faktoriál, takže buďte opatrní.
Můžete s tím chybovat.
Je to trošku nepříjemné.
Takže jaký máme vlastně důvod chtít funkci, která nám dává
faktoriály hodnot mezi celými čísly, když nemůžeme uspořádat
1 a 1/2 objektu?
No, je to zobecnění a ukazuje se, že je to užitečné
pro mnoho věcí.
Konkrétně teď myslím třeba na pravděpodobnost.
Dá se to použít v rovnicích souvisejících s pravděpodobností,
když přemýšlíme o spojitém čase místo pouhého
uspořádávání věcí v diskrétní pravděpodobnosti.
Tady začínáme přemýšlet o spojitých věcech.
Čas je nejlepší příklad.
Potom začneš myšlenky zobecňovat a proto
potřebuješ obecný faktoriál.
BRADY HARAN: 9, 6 a 3.
20.
44.